(10 pontos) Considere a função f: R -> R periódica de período T = 2 * 4. Tal que
f(x) = x, -4 <= x <= 4
Encontre a série de Fourier de f.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo e que se repete a cada período (porque ). Queremos encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, precisamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de funções senoidais e cossenoidais.

Passo 2

Como a função é ímpar (isto é, ), sabemos que a série de Fourier dela só terá termos de seno. Isso simplifica nosso trabalho, porque não precisamos calcular os coeficientes dos cossenos.

Passo 3

A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
onde . Então, precisamos encontrar os coeficientes .

Passo 4

Os coeficientes são calculados por:
Como a função é ímpar, podemos integrar de 0 a 4 e multiplicar por 2:

Passo 5

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:

Passo 6

Agora, avaliaremos essa expressão de 0 a 4:
Substituindo :
E substituindo :
Então, a integral fica:
Porque e .

Passo 7

Agora, substituímos de volta no coeficiente :

Passo 8

Finalmente, substituímos os coeficientes na série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier da função é:

Exercícios relacionados

Mostre que x/(1+x) < ln(1+x) < x, seja qual for o x > 0.
(10pontos) Encontre a série de Maclaurin para cos(x).
De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de 3 dm^3 / seg. Se o raio da base do funil é de 12 dm e a altura é de 24 dm , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6 dm do tôpo.
Seja
f(x)=integral1^x 2 traiz4+t^4 d t
Calcule os valores f(-1), f(1), f^prime(-1), f^prime(1), f^prime prime(-1), f^prime prime(1).