(10 pontos) Considere a função
periódica de período
. Tal que
Encontre a série de Fourier de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
e que se repete a cada período
(porque
). Queremos encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, precisamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de funções senoidais e cossenoidais.
Passo 2
Como a função
é ímpar (isto é,
), sabemos que a série de Fourier dela só terá termos de seno. Isso simplifica nosso trabalho, porque não precisamos calcular os coeficientes dos cossenos.
Passo 3
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
onde
. Então, precisamos encontrar os coeficientes
.
Passo 4
Os coeficientes
são calculados por:
Como a função é ímpar, podemos integrar de 0 a 4 e multiplicar por 2:
Passo 5
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Agora, avaliaremos essa expressão de 0 a 4:
Substituindo
:
E substituindo
:
Então, a integral fica:
Porque
e
.
Passo 7
Agora, substituímos de volta no coeficiente
:
Passo 8
Finalmente, substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
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Mostre que
, seja qual for o
.
(10pontos) Encontre a série de Maclaurin para
.
De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de
. Se o raio da base do funil é de 12 dm e a altura é de 24 dm , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6 dm do tôpo.
Seja
Calcule os valores
.