Considere a função
.
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir se ela é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, é importante saber o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Na prática, isso significa que suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto
.
Calculando
no ponto:
Calculando
no ponto:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto considerado, podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável no ponto
porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.