Considere a função f(x, y) = sen(x + y).
A função f é diferenciável em (x0, y0) = (pi/6, pi/3) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir se ela é diferenciável no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, é importante saber o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear perto desse ponto. Na prática, isso significa que suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto .
Calculando no ponto:
Calculando no ponto:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto considerado, podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Exercícios relacionados