Seja , esboce o gráfico e calcule os limites: lim x 2^+ f(x)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções definidas por partes e limites. Temos uma função que muda sua expressão dependendo do valor de . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e calcular o limite . Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes intervalos de e aplicar conceitos de limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função f(x) = 1x, & x < 0 x^2, & 0 <= x < 1 2, & x = 1 2 - x, & x > 1 :
Cada segmento dessa função é válido em um intervalo específico de . Para desenhar o gráfico, vamos plotar cada parte separadamente:
Para : é uma hipérbole que se aproxima de zero à medida que tende a menos infinito e cresce sem limite positivo à medida que se aproxima de zero pela esquerda.
Para : é uma parábola que começa em e alcança .
Para : é apenas um ponto em .
Para : é uma reta decrescente que passa por e continua para baixo à medida que aumenta.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite limx 2^+ f(x) = limx 2^+ (2 - x) = 2 - 2 = 0 . Isso significa que vamos avaliar o comportamento de quando se aproxima de 2 vindo da direita, ou seja, valores de ligeiramente maiores que 2.
Para , a função é definida por . Portanto, substituímos por valores próximos a 2: