Dadas as funções
e
, determine (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
O que a gente precisa fazer é encontrar:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Além disso, tem que descobrir os domínios de cada resultado. Para isso, vamos precisar saber como somar, multiplicar, dividir funções e também como fazer a composição de funções. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Para somar duas funções, a gente simplesmente soma as expressões delas. Então,
Agora, vamos pensar no domínio dessa função. O domínio é o conjunto de valores de
que deixam a função definida.
Para
, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Para
, o denominador não pode ser zero:
Então, juntando as duas condições, o domínio de
é
e
. Mas como
já exclui
, o domínio final é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
.
Multiplicar duas funções é simples também: multiplicamos as expressões das funções.
Vamos determinar o domínio. As condições são as mesmas de antes:
Para
,
.
Para
,
.
Então, o domínio é
e
. Como
já exclui
, o domínio é:
Passo 4
Seguimos para a parte ©:
.
Dividir uma função pela outra envolve dividir as expressões:
Simplificando, temos:
Agora, o domínio. As condições são:
Para
,
.
Para
,
.
Assim, o domínio é
e
. Novamente,
já exclui
, então:
Passo 5
Por último, a parte (d):
, que é a composição de funções. Isso significa que a gente vai colocar
dentro de
:
Agora, vamos achar o domínio dessa função. Primeiro, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
deve ser positivo para não inverter a desigualdade):
Além disso,
requer que
.
Então, o domínio de
é:
Resposta
(a)
, domínio:
(b) , domínio:
© , domínio:
(d) , domínio:
(b)
©
(d)