Seja
. A função
é derivável em algum ponto? Se sim, calcule sua derivada em tal ponto. Esta função tem derivada de segunda ordem em algum ponto?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos uma função definida por partes, onde
se
é racional e
se
é irracional. O conteúdo envolvido aqui são funções diferenciáveis e a definição de derivada. Precisamos verificar se essa função é derivável em algum ponto específico e, se for, calcular a derivada nesse ponto. Também vamos verificar se existe derivada de segunda ordem em algum ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se o limite que define a derivada existe:
Passo 3
Vamos verificar a derivabilidade na origem, ou seja, em
. Substituindo
:
Passo 4
Analisando
:
- Se
é racional, - Se
é irracional,
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Tanto
quanto
tendem a 0 quando
tende a 0. Portanto, o limite é 0.
Passo 6
Portanto,
é derivável em
e a derivada nesse ponto é 0.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a função tem derivada de segunda ordem em
. Para isso, precisamos analisar a derivada de
em
.
Sabemos que
está definido apenas em
e é constante igual a 0 nesse ponto. Como não há variação em
ao redor de
, a derivada de segunda ordem também é 0.
Resposta
A função
é derivável apenas em
, com derivada
. Além disso,
possui derivada de segunda ordem em
, que também é igual a 0.