Seja f(x) = { x^2 se x pertence a Q; -x^2 se x não pertence a Q }. A função f é derivável em algum ponto? Se sim, calcule sua derivada em tal ponto. Esta função tem derivada de segunda ordem em algum ponto?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos uma função definida por partes, onde se é racional e se é irracional. O conteúdo envolvido aqui são funções diferenciáveis e a definição de derivada. Precisamos verificar se essa função é derivável em algum ponto específico e, se for, calcular a derivada nesse ponto. Também vamos verificar se existe derivada de segunda ordem em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite que define a derivada existe:

Passo 3

Vamos verificar a derivabilidade na origem, ou seja, em . Substituindo :

Passo 4

Analisando :
  • Se é racional,
  • Se é irracional,
Então,
éé

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
Tanto quanto tendem a 0 quando tende a 0. Portanto, o limite é 0.

Passo 6

Portanto, é derivável em e a derivada nesse ponto é 0.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a função tem derivada de segunda ordem em . Para isso, precisamos analisar a derivada de em .
Sabemos que está definido apenas em e é constante igual a 0 nesse ponto. Como não há variação em ao redor de , a derivada de segunda ordem também é 0.

Resposta

A função é derivável apenas em , com derivada . Além disso, possui derivada de segunda ordem em , que também é igual a 0.

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