lim x 0(1sen^2 x-1x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Isso está relacionado ao conceito de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações para facilitar o cálculo:
Agora, precisamos analisar o numerador . Sabemos que quando 1sen^2 x - 1x^2 = x^2 - sen^2 xx^2 sen^2 x é bem pequeno, o comportamento do seno pode ser aproximado pela série de Taylor:
Elevando ao quadrado:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original:
Como x^2 - sen^2 xx^2 sen^2 x approx x^43x^2 cdot x^2 = x^43x^4 = 13 está se aproximando de 0, todas as aproximações que fizemos são válidas e o limite se estabiliza nesse valor.

Resposta

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