Seja f(x) = |x + 4| + |x - 2| para todo x em R. Determine:
а) f(-1); b) f(0); с) f(2); d) f(3); е) para que valores de x, f(x+1) = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Esse exercício tá pedindo pra gente calcular o valor dessa função em alguns pontos específicos ( ) e também descobrir para quais valores de a função não muda quando a gente aumenta em 1, ou seja, quando . Vamos usar o conteúdo de funções absolutas e resolução de equações pra resolver isso.

Passo 2

Letra a)
Primeiro, vamos substituir por na função:
Calculando dentro dos valores absolutos:

Passo 3

Letra b)
Agora, vamos substituir por :
Simplificando:

Passo 4

Letra c)
Substituindo por :
Calculando:

Passo 5

Letra d)
Agora, substituindo por :
Simplificando:

Passo 6

Letra e) Encontrar valores de onde
Queremos achar tal que:
Ou seja:
Simplificando, temos:
Vamos analisar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, que são . Vamos dividir a reta numérica nesses intervalos e resolver em cada um:
  1. Para :
Simplificando:
Isso não tem solução, pois .
  1. Para :
Simplificando:
está no intervalo, então é uma solução.
  1. Para :
Simplificando:
Isso é sempre verdadeiro, então todo nesse intervalo é solução.
  1. Para :
Simplificando:
está no intervalo, então é uma solução adicional.
  1. Para :
Simplificando:
Isso não tem solução.
Então, as soluções são , todo entre e , e .

Resposta

a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) para todos no intervalo .

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