Seja
para todo
. Determine:
а)
; b)
; с)
; d)
; е) para que valores de
.
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Esse exercício tá pedindo pra gente calcular o valor dessa função em alguns pontos específicos (
) e também descobrir para quais valores de
a função não muda quando a gente aumenta
em 1, ou seja, quando
. Vamos usar o conteúdo de funções absolutas e resolução de equações pra resolver isso.
Passo 2
Letra a)
Primeiro, vamos substituir
por
na função:
Calculando dentro dos valores absolutos:
Passo 3
Letra b)
Agora, vamos substituir
por
:
Simplificando:
Passo 4
Letra c)
Substituindo
por
:
Calculando:
Passo 5
Letra d)
Agora, substituindo
por
:
Simplificando:
Passo 6
Letra e) Encontrar valores de
onde
Queremos achar
tal que:
Ou seja:
Simplificando, temos:
Vamos analisar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, que são
. Vamos dividir a reta numérica nesses intervalos e resolver em cada um:
- Para
:
Simplificando:
Isso não tem solução, pois
.
- Para
:
Simplificando:
- Para
:
Simplificando:
Isso é sempre verdadeiro, então todo
nesse intervalo é solução.
- Para
:
Simplificando:
- Para
:
Simplificando:
Isso não tem solução.
Então, as soluções são
, todo
entre
e
, e
.
Resposta
a)
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) para todos
no intervalo
.
b)
c)
d)
e)