Seja f(x) = x^2, para todo x em R. Determine para que valores de x, y, z as seguintes fórmulas são verdadeiras:
а) f(x) = f(-x) b) f(x) + f(y) = f(x + y) c) f(x) - f(y) = (x - y)(x + y) d) f(2y) = 4f(y).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função , definida para todo número real . Precisamos descobrir para quais valores de , e as seguintes igualdades são verdadeiras:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Para resolver isso, vamos passo a passo analisar cada parte, usando conceitos de funções como simetria, propriedades de adição e multiplicação.

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos entender o que essa igualdade significa. A função é igual à função . Isso está relacionado com a simetria da função.
Sabemos que , então:
Portanto,
Isso é sempre verdadeiro para qualquer valor de real.

Passo 3

Parte b)
Vamos substituir a função na equação:
Explicando a expansão do lado direito:
Então, a equação fica:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso implica que:
Então, a igualdade é verdadeira quando pelo menos um dos valores ou é zero.

Passo 4

Parte c)
Primeiro, vamos calcular os lados da equação.
Substituindo e :
Observamos que fatorado é igual a , que é uma identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados. Portanto, a igualdade é sempre verdadeira para qualquer e reais.

Passo 5

Parte d)
Vamos substituir na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Comparando com o lado direito:
Isso é sempre verdadeiro para qualquer valor real de .

Resposta

a) Para todo , ;
b) Quando ou , ;
c) Para todo , ;
d) Para todo , .

Exercícios relacionados