Seja
, para todo
. Determine para que valores de
as seguintes fórmulas são verdadeiras:
а)
b)
c)
d)
.
а)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
, definida para todo número real
. Precisamos descobrir para quais valores de
,
e
as seguintes igualdades são verdadeiras:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Para resolver isso, vamos passo a passo analisar cada parte, usando conceitos de funções como simetria, propriedades de adição e multiplicação.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos entender o que essa igualdade significa. A função
é igual à função
. Isso está relacionado com a simetria da função.
Sabemos que
, então:
Portanto,
Isso é sempre verdadeiro para qualquer valor de
real.
Passo 3
Parte b)
Vamos substituir a função
na equação:
Explicando a expansão do lado direito:
Então, a equação fica:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso implica que:
Então, a igualdade
é verdadeira quando pelo menos um dos valores
ou
é zero.
Passo 4
Parte c)
Primeiro, vamos calcular os lados da equação.
Substituindo
e
:
Observamos que
fatorado é igual a
, que é uma identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados. Portanto, a igualdade é sempre verdadeira para qualquer
e
reais.
Passo 5
Parte d)
Vamos substituir
na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Comparando com o lado direito:
Isso é sempre verdadeiro para qualquer valor real de
.
Resposta
a) Para todo
,
;
b) Quando
ou
,
;
c) Para todo
,
;
d) Para todo
,
.