Seja
. Calcular aproximadamente
com precisão 0.001.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar um valor aproximado de
que satisfaz
com uma precisão de 0.001. Isso envolve conceitos de Cálculo e Métodos Numéricos, especificamente utilizando o Método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o Método de Newton-Raphson. É um método iterativo que nos ajuda a encontrar aproximções sucessivas para a raiz de uma função. A fórmula para atualizar nossa estimativa é:
Aqui,
é a derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da nossa função
:
Essa derivada será usada na fórmula do Método de Newton-Raphson.
Passo 4
Precisamos de um valor inicial
. Vamos tentar encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, indicando que há uma raiz nesse intervalo. Testando alguns valores:
Para
:
Para
:
Como
e
, a função muda de sinal entre 0 e 1. Vamos escolher
como nosso ponto de partida.
Passo 5
Aplicando a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Calculando
e
:
Agora:
Passo 6
Vamos repetir o processo com
:
Atualizando:
Passo 7
Continuando com
:
Atualizando:
Passo 8
Agora com
:
Atualizando:
Passo 9
Verificando com
:
Atualizando:
Passo 10
Com
:
A diferença está dentro da nossa precisão de 0.001, então podemos parar aqui.
Resposta
A raiz aproximada
da função
com precisão de 0.001 é
.
Exercícios relacionados
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva
em função de
.