Seja . Calcular aproximadamente com precisão 0.001.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar um valor aproximado de que satisfaz com uma precisão de 0.001. Isso envolve conceitos de Cálculo e Métodos Numéricos, especificamente utilizando o Método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o Método de Newton-Raphson. É um método iterativo que nos ajuda a encontrar aproximções sucessivas para a raiz de uma função. A fórmula para atualizar nossa estimativa é:
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da nossa função :
Essa derivada será usada na fórmula do Método de Newton-Raphson.

Passo 4

Precisamos de um valor inicial . Vamos tentar encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, indicando que há uma raiz nesse intervalo. Testando alguns valores:
Para :
Para :
Como e , a função muda de sinal entre 0 e 1. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 5

Aplicando a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Calculando e :
Agora:

Passo 6

Vamos repetir o processo com :
Atualizando:

Passo 7

Continuando com :
Atualizando:

Passo 8

Agora com :
Atualizando:

Passo 9

Verificando com :
Atualizando:

Passo 10

Com :
A diferença está dentro da nossa precisão de 0.001, então podemos parar aqui.

Resposta

A raiz aproximada da função com precisão de 0.001 é .

Exercícios relacionados

Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Seja . Provar que a equação possui somente uma raíz real .
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva em função de .