Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
Uma série de potências
pode convergir em apenas dois valores
.
Uma série de potências
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma série de potências da forma
. Nosso objetivo aqui é classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) se uma série desse tipo pode convergir em apenas dois valores de
nos números reais
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências geralmente tem uma raio de convergência
. Esse raio nos diz para quais valores de
a série converge. A regra geral é:
- Converge absolutamente para
. - Diverge para
. - Nos limites
, pode convergir ou divergir dependendo da série específica.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que a questão está perguntando: se a série pode convergir apenas em dois valores de
. Isso significaria que existe um raio de convergência tal que a série converge em exatamente dois pontos específicos. Vamos ver se isso é possível.
Passo 4
Considerando os possíveis valores de
:
- Se
, a série apenas converge em . - Se
é um número positivo finito, a série converge para todos os tais que , ou seja, em um intervalo inteiro de números reais, não apenas dois valores. - Se
, a série converge para todos os valores de reais.
Passo 5
Dessa forma, não existe um valor de
que permita que a série converja apenas em dois valores específicos de
. A única exceção seria
, mas nesse caso, a série convergeria apenas em
, e não em dois valores diferentes.
Resposta
Falso (F). Uma série de potências não pode convergir em apenas dois valores reais; ela converge em um intervalo contínuo de
ou apenas no ponto central.