Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
Uma série de potências sumn=0^+infty an x^n pode convergir em apenas dois valores x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma série de potências da forma . Nosso objetivo aqui é classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) se uma série desse tipo pode convergir em apenas dois valores de nos números reais . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências geralmente tem uma raio de convergência . Esse raio nos diz para quais valores de a série converge. A regra geral é:
  • Converge absolutamente para .
  • Diverge para .
  • Nos limites , pode convergir ou divergir dependendo da série específica.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que a questão está perguntando: se a série pode convergir apenas em dois valores de . Isso significaria que existe um raio de convergência tal que a série converge em exatamente dois pontos específicos. Vamos ver se isso é possível.

Passo 4

Considerando os possíveis valores de :
  • Se , a série apenas converge em .
  • Se é um número positivo finito, a série converge para todos os tais que , ou seja, em um intervalo inteiro de números reais, não apenas dois valores.
  • Se , a série converge para todos os valores de reais.

Passo 5

Dessa forma, não existe um valor de que permita que a série converja apenas em dois valores específicos de . A única exceção seria , mas nesse caso, a série convergeria apenas em , e não em dois valores diferentes.

Resposta

Falso (F). Uma série de potências não pode convergir em apenas dois valores reais; ela converge em um intervalo contínuo de ou apenas no ponto central.

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