Seja f(x) = (3x + 1) / (x - 1). Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (0,0). Resp.: y = -9 x ; y = -x.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá a função e pede para a gente encontrar todas as retas tangentes ao gráfico dessa função que passam pelo ponto .
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar as retas tangentes e verificar quais delas passam pelo ponto dado. Precisamos saber como derivar funções racionais e como usar a condição de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação das retas tangentes em qualquer ponto da função.
A função é:
Para derivar essa função, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos considerar que a reta tangente à função em um ponto tem a forma:
Mas, como queremos que essa reta passe pelo ponto , vamos substituir e na equação da reta:
Isso simplifica para:
Vamos chamar essa equação de condição para encontrar os valores de que satisfazem a condição de tangência passando por .

Passo 4

Substituindo e na equação:
Sabemos que:
A condição fica:
Vamos simplificar:
Para somar as frações, vamos colocar tudo sobre o denominador comum :
Como o denominador não pode ser zero, focamos apenas no numerador:

Passo 5

Expandindo o numerador:
Simplificando os termos:
Agora, temos uma equação quadrática para resolver.

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes.
Para :
Calculamos :
Calculamos :
Então, a equação da reta tangente é:
Distribuindo o -9:
Para :
Calculamos :
Calculamos :
Então, a equação da reta tangente é:

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de que passam pelo ponto são:

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