Seja
. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá a função
e pede para a gente encontrar todas as retas tangentes ao gráfico dessa função que passam pelo ponto
.
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar as retas tangentes e verificar quais delas passam pelo ponto dado. Precisamos saber como derivar funções racionais e como usar a condição de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação das retas tangentes em qualquer ponto
da função.
A função é:
Para derivar essa função, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a reta tangente à função em um ponto
tem a forma:
Mas, como queremos que essa reta passe pelo ponto
, vamos substituir
e
na equação da reta:
Isso simplifica para:
Vamos chamar essa equação de condição para encontrar os valores de
que satisfazem a condição de tangência passando por
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação:
Sabemos que:
A condição fica:
Vamos simplificar:
Para somar as frações, vamos colocar tudo sobre o denominador comum
:
Como o denominador não pode ser zero, focamos apenas no numerador:
Passo 5
Expandindo o numerador:
Simplificando os termos:
Agora, temos uma equação quadrática para resolver.
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes.
Para
:
Calculamos
:
Calculamos
:
Então, a equação da reta tangente é:
Distribuindo o -9:
Para
:
Calculamos
:
Calculamos
:
Então, a equação da reta tangente é:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
são: