Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano
e as interseções com os eixos coordenados.
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos o hiperboloide dado pela equação
. Vamos descobrir quantas folhas ele tem, como ele intercepta o plano
e como ele corta os eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas, especialmente os hiperboloides, e saber manipular equações para encontrar interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de hiperboloide estamos lidando. A equação geral de um hiperboloide pode ser de uma ou duas folhas, dependendo dos sinais dos termos. No nosso caso, temos
. Observamos que dois termos são positivos (
e
) e um é negativo (
). Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Agora, vamos analisar a interseção desse hiperboloide com o plano
. Para isso, substituímos
por 10 na equação original:
Calculando
:
Substituindo na equação:
Vamos isolar os termos com
e
:
Dividindo ambos os lados por
para facilitar a interpretação:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções do hiperboloide com os eixos coordenados. Para isso, vamos substituir duas das variáveis por zero e resolver para a terceira.
Interseção com o eixo
:
Substituindo na equação:
Portanto, as interseções no eixo
são
.
Interseção com o eixo
:
Substituindo na equação:
Então, as interseções no eixo
são
.
Interseção com o eixo
:
Substituindo na equação:
Aqui, encontramos um problema:
não pode ser negativo, o que significa que não há interseção com o eixo
.
Resposta
O hiperboloide
possui uma folha. Sua interseção com o plano
é uma hipérbole dada por:
As interseções com os eixos coordenados são:
- No eixo
: - No eixo
: - No eixo
: Não há interseção.
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e as interseções com os eixos coordenados.
Duas folhas; Traço
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e as interseções com os eixos coordenados.
a.
a.
Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
a.
Hiperboloide de duas folhas;
a.
Hiperboloide de duas folhas;
Seja
uma função e sejam
e
. Prove que:
.