Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
c. 3 x^2+9 y^2-5 z^2=4
Uma folha; Traço x=10:-y^22969+z^22965=1 ç
I^prime=(0, pm 23, 0) I^prime prime=( pm 2raiz3, 0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos o hiperboloide dado pela equação . Vamos descobrir quantas folhas ele tem, como ele intercepta o plano e como ele corta os eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas, especialmente os hiperboloides, e saber manipular equações para encontrar interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de hiperboloide estamos lidando. A equação geral de um hiperboloide pode ser de uma ou duas folhas, dependendo dos sinais dos termos. No nosso caso, temos . Observamos que dois termos são positivos ( e ) e um é negativo ( ). Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Agora, vamos analisar a interseção desse hiperboloide com o plano 3(10)^2 + 9y^2 - 5z^2 = 4 . Para isso, substituímos 3 times 100 = 300 por 10 na equação original:
300 + 9y^2 - 5z^2 = 4
Calculando 9y^2 - 5z^2 = 4 - 300 :
9y^2 - 5z^2 = -296
Substituindo na equação:
-9y^2296 + 5z^2296 = 1
Vamos isolar os termos com -y^22969 + z^22965 = 1 e :
Dividindo ambos os lados por para facilitar a interpretação:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções do hiperboloide com os eixos coordenados. Para isso, vamos substituir duas das variáveis por zero e resolver para a terceira.
Interseção com o eixo y = 0 e z = 0 :
3x^2 + 9(0)^2 - 5(0)^2 = 4
Substituindo na equação:
3x^2 = 4
x^2 = 43
x = pm 2raiz3 = pm 2raiz33
x = 0 e z = 0
Portanto, as interseções no eixo 3(0)^2 + 9y^2 - 5(0)^2 = 4 são 9y^2 = 4 .
Interseção com o eixo y^2 = 49 :
y = pm 23
Substituindo na equação:
x = 0 e y = 0
3(0)^2 + 9(0)^2 - 5z^2 = 4
-5z^2 = 4
z^2 = -45
Então, as interseções no eixo são .
Interseção com o eixo :
Substituindo na equação:
Aqui, encontramos um problema: não pode ser negativo, o que significa que não há interseção com o eixo .

Resposta

O hiperboloide -y^22969 + z^22965 = 1 possui uma folha. Sua interseção com o plano é uma hipérbole dada por:
As interseções com os eixos coordenados são:
  • No eixo :
  • No eixo :
  • No eixo : Não há interseção.

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