Descreva explicitamente uma transformação linear T de R^2 em R^2 tal que T(1,0) (a, b) e T(0,1) = (c, d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descrever uma transformação linear que vai de para . Basicamente, uma transformação linear é como uma função que pega um vetor do plano e transforma ele em outro vetor no mesmo plano seguindo algumas regras. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como representá-las usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma transformação linear é completamente definida pelas suas imagens nos vetores da base canônica. No caso de , a base canônica é formada pelos vetores e . A questão nos dá exatamente essas imagens: e .

Passo 3

Agora, para encontrar a transformação linear , vamos montar uma matriz que representa . Essa matriz será formada colando os vetores de imagem das base canônicas como colunas. Então, a primeira coluna da matriz será e a segunda coluna será .

Passo 4

Com a matriz montada, podemos definir como a transformação age sobre qualquer vetor em . Multiplicando essa matriz pelo vetor , obtemos:

Resposta

Portanto, a transformação linear é dada por:

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