Descreva explicitamente uma transformação linear
de
em
tal que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descrever uma transformação linear
que vai de
para
. Basicamente, uma transformação linear é como uma função que pega um vetor do plano e transforma ele em outro vetor no mesmo plano seguindo algumas regras. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como representá-las usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, sabemos que uma transformação linear é completamente definida pelas suas imagens nos vetores da base canônica. No caso de
, a base canônica é formada pelos vetores
e
. A questão nos dá exatamente essas imagens:
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar a transformação linear
, vamos montar uma matriz que representa
. Essa matriz será formada colando os vetores de imagem das base canônicas como colunas. Então, a primeira coluna da matriz será
e a segunda coluna será
.
Passo 4
Com a matriz montada, podemos definir como a transformação
age sobre qualquer vetor
em
. Multiplicando essa matriz pelo vetor
, obtemos:
Resposta
Portanto, a transformação linear
é dada por: