Descreva explicitamente uma transformação linear T de R^2 em R^2 tal que T(1,0) (a, b) e T(0,1) = (c, d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descrever uma transformação linear que vai de para . Basicamente, uma transformação linear é como uma função que pega um vetor do plano e transforma ele em outro vetor no mesmo plano seguindo algumas regras. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e como representá-las usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma transformação linear é completamente definida pelas suas imagens nos vetores da base canônica. No caso de , a base canônica é formada pelos vetores e . A questão nos dá exatamente essas imagens: e .

Passo 3

Agora, para encontrar a transformação linear , vamos montar uma matriz que representa . Essa matriz será formada colando os vetores de imagem das base canônicas como colunas. Então, a primeira coluna da matriz será e a segunda coluna será .

Passo 4

Com a matriz montada, podemos definir como a transformação age sobre qualquer vetor em . Multiplicando essa matriz pelo vetor , obtemos:

Resposta

Portanto, a transformação linear é dada por:

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<html><head></head><body><div>Calcule aproximadamente <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
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<html><head></head><body><div>Calcule aproximadamente <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.447ex;” xmlns=“
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81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g></g></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(362,462.5) scale(0.5)”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0,152.5)”><path data-c=“221A” d=“M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z”></path></g><rect width=“13088.5” height=“60” x=“1020” 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Ligando-se em paralelo n resistências a resistência total R é dada por
y = sen(x^2)
Verifique que: y = sen(x^2).
Seja f(x, y) = raiz(x^2 + y^2). Sendo , calcule . Existe para algum ? Justifique.