Seja f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }
Verifique que f(t x, t y) = t f(x, y) para todo t e todo (x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida de duas formas:
A tarefa é verificar que para todo valor de e para todo ponto . Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando multiplicamos e por um escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Como e são apenas múltiplos de e , vamos substituir na função:
Como é qualquer número, exceto zero, se , então .

Passo 3

Focando no caso onde , vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar no denominador:

Passo 4

Agora, consideremos o caso onde . Isso só ocorre quando e . Nesse caso:
E, por outro lado:
Então, também se satisfaz quando e .

Resposta

Concluímos que para todo e para todo .

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