Seja
. Determine as direções de
e os valores de
para os quais: (a)
é máximo
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as direções
e os valores da derivada direcional
para a função
, de forma que essa derivada direcional seja máxima. A matéria envolvida aqui é a Derivada Direcional e o Gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e usar algumas propriedades desse gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
e
representa o produto escalar. O gradiente aponta na direção de maior aumento da função, e a derivada direcional máxima ocorre justamente nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 5
Sabemos que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente. Portanto, a direção
que maximiza
é a direção do próprio gradiente. Para ter certeza de que
é um vetor unitário, vamos normalizar o gradiente.
Calculamos a magnitude do gradiente:
Então, a direção unitária é:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional máxima é igual à magnitude do gradiente:
Resposta
As direções
que maximizam
são
e
, e o valor máximo da derivada direcional é
.
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