Seja f(x, y)=(x-y)/(x+y). Determine as direções de u e os valores de D_u f(-1/2, 3/2) para os quais: (a) D_u f(-1/2, 3/2) é máximo

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as direções e os valores da derivada direcional para a função , de forma que essa derivada direcional seja máxima. A matéria envolvida aqui é a Derivada Direcional e o Gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e usar algumas propriedades desse gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente de e representa o produto escalar. O gradiente aponta na direção de maior aumento da função, e a derivada direcional máxima ocorre justamente nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 5

Sabemos que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente. Portanto, a direção que maximiza é a direção do próprio gradiente. Para ter certeza de que é um vetor unitário, vamos normalizar o gradiente.
Calculamos a magnitude do gradiente:
Então, a direção unitária é:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional máxima é igual à magnitude do gradiente:

Resposta

As direções que maximizam são e , e o valor máximo da derivada direcional é .

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