Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método das variáveis separáveis. O enunciado que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para separar
e
. Observe que:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Isso nos permite integrar cada lado com respeito às suas próprias variáveis.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos a integral de
, que é uma integral conhecida:
Do lado direito, integramos
em relação a
:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais e unificamos as constantes de integração:
Onde
é uma constante qualquer.
Passo 6
Para deixar a solução mais explícita para
, aplicamos a tangente dos dois lados da equação:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(g)
(g)
Seja
. Determine as direções de
e os valores de
para os quais: (a)
é máximo
Determine os valores de
e
em
para
Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO