Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO d y/d x = 1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método das variáveis separáveis. O enunciado que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como separar as variáveis e para integrar cada lado da equação de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para separar e . Observe que:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Isso nos permite integrar cada lado com respeito às suas próprias variáveis.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos a integral de , que é uma integral conhecida:
Do lado direito, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, juntamos as integrais e unificamos as constantes de integração:
Onde é uma constante qualquer.

Passo 6

Para deixar a solução mais explícita para , aplicamos a tangente dos dois lados da equação:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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