Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(g) sumn=1^infty n!(2+n)!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série infinita e precisamos usar o teste de comparação para descobrir se essa série converge ou diverge.
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e, mais especificamente, com o teste de comparação, que nos ajuda a comparar uma série desconhecida com outra que já sabemos se converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como os fatoriais funcionam e como comparar os termos da série com outra série mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Sabemos que:
(2+n)! = (n+2)! = (n+2)(n+1)n!
Então, podemos reescrever o termo da série assim:
n!(n+2)! = n!(n+2)(n+1)n! = 1(n+2)(n+1)
Isso simplifica bastante o termo, deixando claro como ele se comporta conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos comparar 1(n+2)(n+1) <= 1n^2 com . Para grandes valores de , é aproximadamente igual a . Então, podemos dizer que:
Sabemos que a série é uma série p com , e sabemos que séries p convergem quando . Portanto, converge.

Passo 4

Agora, aplicando o teste de comparação, já que para todo e a série converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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