Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO y ln(x) dx - 2y dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que se apresenta como:
Vamos resolver essa EDO usando o método das variáveis separáveis. Isso significa que vamos conseguir separar os termos que envolvem dos que envolvem , facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos de e . Podemos mover o termo para o outro lado da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por (desde que ) para simplificar:

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções cujas derivadas são os lados que temos.
Integrando o lado esquerdo em relação a :
E integrando o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver cada integral:
  1. Integral de :
    Para integrar , usamos a técnica de integração por partes, onde:
    Aplicando a fórmula de integração por partes :
  2. Integral de :
    Isso é mais simples:

Passo 5

Agora, igualamos as duas integrais (não precisamos nos preocupar com as constantes de integração separadamente, pois elas podem ser combinadas em uma única constante ):
Queremos expressar a solução geral, então podemos rearranjar para deixar em função de :
Dividindo ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante apenas para , já que é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO (2 x - 1) cos^4(y) dx + (x^2 - 2 x + 2) dy = 0
Determine a derivada parcial indicada da função u(x, y, z) = x^a y^b z^c, u_xz.
Seja f(x, y)=(x-y)/(x+y). Determine as direções de u e os valores de D_u f(-1/2, 3/2) para os quais: (a) D_u f(-1/2, 3/2) é máximo
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(g) sumn=1^infty n!(2+n)!