Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que se apresenta como:
Vamos resolver essa EDO usando o método das variáveis separáveis. Isso significa que vamos conseguir separar os termos que envolvem
dos que envolvem
, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos de
e
. Podemos mover o termo
para o outro lado da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
(desde que
) para simplificar:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções cujas derivadas são os lados que temos.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver cada integral:
-
Integral de
: Para integrar, usamos a técnica de integração por partes, onde: Aplicando a fórmula de integração por partes: -
-
Integral de
: Isso é mais simples:
Passo 5
Agora, igualamos as duas integrais (não precisamos nos preocupar com as constantes de integração separadamente, pois elas podem ser combinadas em uma única constante
):
Queremos expressar a solução geral, então podemos rearranjar para deixar
em função de
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante
apenas para
, já que é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Determine a derivada parcial indicada da função
.
Seja
. Determine as direções de
e os valores de
para os quais: (a)
é máximo
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(g)
(g)