Calcule a derivada direcional , onde e é o versor de . No ponto determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de . Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Além disso, vamos encontrar o vetor que aponta na direção de maior crescimento da função nesse ponto e determinar a taxa de crescimento nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular, precisamos do gradiente da função e do vetor direção normalizado (versor) .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o versor da direção do vetor . Para isso, normalizamos :
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Agora, vamos determinar o vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Esse vetor é exatamente o gradiente . Portanto, no ponto , o vetor de maior crescimento é:
Passo 8
Para encontrar a taxa de crescimento nessa direção, calculamos o módulo do gradiente:
Resposta
A derivada direcional de na direção do versor no ponto é . O vetor que aponta na direção de maior crescimento de nesse ponto é e a taxa de crescimento nessa direção é .