Calcule a derivada direcional , onde e é o versor de . No ponto determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de . Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Além disso, vamos encontrar o vetor que aponta na direção de maior crescimento da função nesse ponto e determinar a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular, precisamos do gradiente da função e do vetor direção normalizado (versor) .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o versor da direção do vetor . Para isso, normalizamos :

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Agora, vamos determinar o vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Esse vetor é exatamente o gradiente . Portanto, no ponto , o vetor de maior crescimento é:

Passo 8

Para encontrar a taxa de crescimento nessa direção, calculamos o módulo do gradiente:

Resposta

A derivada direcional de na direção do versor no ponto é . O vetor que aponta na direção de maior crescimento de nesse ponto é e a taxa de crescimento nessa direção é .

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