Calcule a derivada direcional partial fpartial u(1,1), onde f(x, y)=x^2-3 y^2+2 x y e u é o versor de v=(1,2). No ponto (1,1) determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de f. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Além disso, vamos encontrar o vetor que aponta na direção de maior crescimento da função nesse ponto e determinar a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular, precisamos do gradiente da função e do vetor direção normalizado (versor) .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x + 2y em relação a partial fpartial y = -6y + 2x e :
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto partial fpartial x |(1,1) = 2(1) + 2(1) = 4 :
partial fpartial y |(1,1) = -6(1) + 2(1) = -4
nabla f(1,1) = (4, -4)
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o versor u = v||v|| = (1,2)raiz1^2 + 2^2 = (1,2)raiz5 = ( 1raiz5, 2raiz5 ) da direção do vetor . Para isso, normalizamos :

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial u = nabla f cdot u
Substituindo os valores que temos:
partial fpartial u(1,1) = (4, -4) cdot ( 1raiz5, 2raiz5 ) = 4 cdot 1 + (-4) cdot 2raiz5 = 4 - 8raiz5 = -4raiz5 = -4raiz5

Passo 7

Agora, vamos determinar o vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Esse vetor é exatamente o gradiente nabla f(1,1) = (4, -4) . Portanto, no ponto , o vetor de maior crescimento é:

Passo 8

Para encontrar a taxa de crescimento nessa direção, calculamos o módulo do gradiente:
||nabla f(1,1)|| = raiz4^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 = 4raiz2

Resposta

A derivada direcional de na direção do versor no ponto é . O vetor que aponta na direção de maior crescimento de nesse ponto é e a taxa de crescimento nessa direção é .

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