Resolva as equações diferenciais abaixo conforme o que se pede: (redutíveis à variáveis separáveis)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Esse tipo de equação é da matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações separáveis. Vai precisar entender como separar as variáveis para resolver. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar . A equação é:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Legal, agora queremos separar as variáveis e . Isso significa rearranjar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os com fiquem do outro. Vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, vamos escrever como uma derivada e reorganizar:

Passo 4

Agora temos uma equação onde as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar o lado esquerdo com respeito a e o lado direito com respeito a :
Vamos resolver cada integral:
  1. Integral do lado esquerdo:
Como é tratado como uma constante em relação a , a integral fica:
  1. Integral do lado direito:

Passo 5

Agora, juntando as integrais resolvidas:
Onde é a constante de integração. Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 2 para eliminar as frações:
Onde . Podemos reorganizar a equação:

Passo 6

Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se quiser, podemos escrever de forma mais compacta, apenas usando uma constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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(a) Seja a hélice e sejan . Calcular
Seja . Descreva as curvas de nível com os valores de obtidos em a).
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
a.
b. ;
c. .
Seja . Com quais valores de a curva de nível contém pelo menos um ponto?