Resolva as equações diferenciais abaixo conforme o que se pede:
(redutíveis à variáveis separáveis)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Esse tipo de equação é da matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações separáveis. Vai precisar entender como separar as variáveis para resolver. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar isolar
. A equação é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Legal, agora queremos separar as variáveis
e
. Isso significa rearranjar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
fiquem do outro. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, vamos escrever
como uma derivada e reorganizar:
Passo 4
Agora temos uma equação onde as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar o lado esquerdo com respeito a
e o lado direito com respeito a
:
Vamos resolver cada integral:
- Integral do lado esquerdo:
Como
é tratado como uma constante em relação a
, a integral fica:
- Integral do lado direito:
Passo 5
Agora, juntando as integrais resolvidas:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 2 para eliminar as frações:
Onde
. Podemos reorganizar a equação:
Passo 6
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se quiser, podemos escrever de forma mais compacta, apenas usando uma constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
(a) Seja
a hélice
e sejan
. Calcular
Seja
. Descreva as curvas de nível
com os valores de
obtidos em a).
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
a.
b. ;
c. .
a.
b.
c.
Seja
. Com quais valores de
a curva de nível
contém pelo menos um ponto?