Seja . Seja a superfície da esfera com centro e raio 5 . Ache o fluxo de , de dentro para fora de .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: temos um campo vetorial e uma superfície , que é uma esfera com centro em e raio 5. A tarefa é encontrar o fluxo de que sai de dentro para fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que a superfície delimita.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Ela é calculada assim:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo através da superfície é igual à integral da divergência sobre o volume dentro de :
Como a divergência é constante e igual a 9, podemos simplificar a integral:

Passo 4

Vamos calcular o volume da esfera com raio 5. A fórmula do volume de uma esfera é:
Substituindo :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos a divergência pelo volume para encontrar o fluxo:

Resposta

O fluxo de sobre a superfície é .

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