Seja
. Seja
a superfície da esfera com centro
e raio 5 . Ache o fluxo de
, de dentro para fora de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: temos um campo vetorial
e uma superfície
, que é uma esfera com centro em
e raio 5. A tarefa é encontrar o fluxo de
que sai de dentro para fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que a superfície delimita.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Ela é calculada assim:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo
através da superfície
é igual à integral da divergência sobre o volume
dentro de
:
Como a divergência é constante e igual a 9, podemos simplificar a integral:
Passo 4
Vamos calcular o volume da esfera com raio 5. A fórmula do volume de uma esfera é:
Substituindo
:
Passo 5
Finalmente, multiplicamos a divergência pelo volume para encontrar o fluxo:
Resposta
O fluxo de
sobre a superfície
é
.
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Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.
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e
.
Utilizando o teorema de Stokes, transforme
em uma integral de linha e calcule:
, sendo
tal que
.
Calcule
, onde
é a fronteira do cilindro
e
orientada para fora de
.