Utilizando o teorema de Stokes, transforme integral duplaS rot F cdot n d S em uma integral de linha e calcule: F(x, y, z)=x j+x y k, S: x^2+y^2+z^24=1, z <= 1, sendo n tal que n(0,0,-2)=-k.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Stokes. A gente precisa transformar uma integral de superfície em uma integral de linha e, depois, calcular esse valor. A função vetorial dada é , e a superfície é a parte de uma elipsoide definida por com . A orientação da superfície é tal que o vetor normal em aponta para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da fronteira da superfície. Matematicamente, é dado por:
integral duplaS rot F cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Isso significa que, para calcular nossa integral de superfície, podemos transformar isso em uma integral de linha ao redor da borda de .

Passo 3

Vamos identificar a borda da superfície x^2 + y^2 + 1^24 = 1 Rightarrow x^2 + y^2 = 34 . Como é a parte da elipsoide com , a borda ocorre quando . Então, a curva de interseção é:
Essa é uma circunferência no plano com raio .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares no plano x = raiz32 cos theta, y = raiz32 sin theta, z = 1, theta in [0, 2pi] :
dr = ( -raiz32 sin theta , dtheta ) i + ( raiz32 cos theta , dtheta ) j + 0 k
O elemento de linha é:

Passo 5

Vamos calcular F = x j + x y k = raiz32 cos theta , j + ( raiz32 cos theta cdot raiz32 sin theta ) k = raiz32 cos theta , j + 34 cos theta sin theta , k . Substituindo F cdot dr = ( raiz32 cos theta ) ( raiz32 cos theta , dtheta ) = 34 cos^2 theta , dtheta na função :
Agora, fazemos o produto escalar com :
(O termo com se elimina porque não tem componente .)

Passo 6

Agora, integramos ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi 34 cos^2 theta , dtheta = 34 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta de integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi a 34 cdot pi = 3pi4 :
Sabemos que:
Então,

Resposta

O valor da integral é .

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