Utilizando o teorema de Stokes, transforme
em uma integral de linha e calcule:
, sendo
tal que
.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Stokes. A gente precisa transformar uma integral de superfície em uma integral de linha e, depois, calcular esse valor. A função vetorial dada é
, e a superfície
é a parte de uma elipsoide definida por
com
. A orientação da superfície é tal que o vetor normal em
aponta para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da fronteira da superfície. Matematicamente, é dado por:
Isso significa que, para calcular nossa integral de superfície, podemos transformar isso em uma integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 3
Vamos identificar a borda da superfície
. Como
é a parte da elipsoide
com
, a borda ocorre quando
. Então, a curva de interseção é:
Essa é uma circunferência no plano
com raio
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares no plano
:
O elemento de linha
é:
Passo 5
Vamos calcular
. Substituindo
na função
:
Agora, fazemos o produto escalar com
:
(O termo com
se elimina porque
não tem componente
.)
Passo 6
Agora, integramos
de
a
:
Sabemos que:
Então,
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Seja
a superfície da esfera com centro
e raio 5 . Ache o fluxo de
, de dentro para fora de
.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.
Calcule
, onde
é a fronteira do cilindro
e
orientada para fora de
.
Calcule
, onde
é a superfície esférica
e
a orientação normal exterior a
.