Utilizando o teorema de Stokes, transforme em uma integral de linha e calcule: , sendo tal que .

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Stokes. A gente precisa transformar uma integral de superfície em uma integral de linha e, depois, calcular esse valor. A função vetorial dada é , e a superfície é a parte de uma elipsoide definida por com . A orientação da superfície é tal que o vetor normal em aponta para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da fronteira da superfície. Matematicamente, é dado por:
Isso significa que, para calcular nossa integral de superfície, podemos transformar isso em uma integral de linha ao redor da borda de .

Passo 3

Vamos identificar a borda da superfície . Como é a parte da elipsoide com , a borda ocorre quando . Então, a curva de interseção é:
Essa é uma circunferência no plano com raio .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares no plano :
O elemento de linha é:

Passo 5

Vamos calcular . Substituindo na função :
Agora, fazemos o produto escalar com :
(O termo com se elimina porque não tem componente .)

Passo 6

Agora, integramos de a :
Sabemos que:
Então,

Resposta

O valor da integral é .

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