Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=(x+y) i+(y+z) j+z^2 k, S é a fronteira do cilindro W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1 e n orientada para fora de W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de superfície do campo vetorial sobre a fronteira do cilindro definido por e . A orientação do vetor normal deve ser para fora de . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de fluxo da superfície do campo é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume .

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de nabla cdot F = partialpartial x(x + y) + partialpartial y(y + z) + partialpartial z(z^2) , que é dado por:
partialpartial x(x + y) = 1
Calculando cada derivada:
partialpartial y(y + z) = 1
partialpartial z(z^2) = 2z
nabla cdot F = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z
Então,

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral tripla de integral triplaW (2 + 2z) , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 (2 + 2z) , r , dz , dr , dtheta sobre o volume . Como é um cilindro, o jeito mais fácil é usar coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, , , e , com indo de 0 a 1, de 0 a , e de 0 a 1.
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (2 + 2z) , dz = [ 2z + z^2 ]0^1 = 2(1) + (1)^2 - (0) = 3 :
3 integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^1 r , dr = [ 12 r^2 ]0^1 = 12(1)^2 - 0 = 12 :
3 times 12 integral0^2pi dtheta = 32 times integral0^2pi dtheta
Então, a integral agora é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
32 times 2pi = 3pi
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral vale .

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