Calcule
, onde
é a fronteira do cilindro
e
orientada para fora de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de superfície do campo vetorial
sobre a fronteira
do cilindro
definido por
e
. A orientação do vetor normal
deve ser para fora de
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de fluxo da superfície
do campo
é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
, que é dado por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral tripla de
sobre o volume
. Como
é um cilindro, o jeito mais fácil é usar coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas,
,
, e
, com
indo de 0 a 1,
de 0 a
, e
de 0 a 1.
A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Utilizando o teorema de Stokes, transforme
em uma integral de linha e calcule:
, sendo
tal que
.
Seja
. Seja
a superfície da esfera com centro
e raio 5 . Ache o fluxo de
, de dentro para fora de
.
Calcule
, onde
é a superfície esférica
e
a orientação normal exterior a
.
Calcule o fluxo do campo
, através da superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com a normal
apontando para fora do sólido.