Calcule , onde é a fronteira do cilindro e orientada para fora de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de superfície do campo vetorial sobre a fronteira do cilindro definido por e . A orientação do vetor normal deve ser para fora de . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de fluxo da superfície do campo é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume .

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de , que é dado por:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral tripla de sobre o volume . Como é um cilindro, o jeito mais fácil é usar coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, , , e , com indo de 0 a 1, de 0 a , e de 0 a 1.
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral agora é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

A integral vale .

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Utilizando o teorema de Stokes, transforme em uma integral de linha e calcule: , sendo tal que .
Seja . Seja a superfície da esfera com centro e raio 5 . Ache o fluxo de , de dentro para fora de .
Calcule , onde é a superfície esférica e a orientação normal exterior a .
Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com a normal apontando para fora do sólido.