Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
21
Se para todo , se , determine Resposta:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função utilizando a substituição . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e substituições trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que estamos expressando em termos de , o que pode simplificar a integral.

Passo 3

Com , precisamos calcular . A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, substituímos e na função original:
Portanto, a função fica:

Passo 5

Substituindo tudo na integral:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Então, a integral fica:

Passo 7

A integral de é conhecida:
Portanto:

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
E:

Passo 9

Substituindo de acordo com a relação trigonométrica:

Passo 10

Finalmente, substituindo na expressão da integral:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

Sim, é possível fazer a integral usando a substituição . A integral resulta em:

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Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(j) Dica: Use a substituição ,Resposta: )
19
Seja e funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real :
I.
II. O valor médio de no intervalo é
III.
IV.
(a) Ache em termos de b.(Resposta: )
Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
© (Dica: Use o fato que para simplificar o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por e depois faça por substituição), Resposta: )
Se e , determine . (Resposta: 9 )
26
Se , então quanto vale ? (Resposta: )
Se a substituição é feita, como fica a integral ? (Resposta:
30
A substituição de na integral resulta em qual integral? (Resposta: )