Seja a função f(x)=1x^2-4
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição x=2 sec (theta) ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
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Se para todo x>1, se f(x)=integral1^x d tt, determine f^prime(x)( Resposta: 1x)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função utilizando a substituição . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e substituições trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que estamos expressando em termos de , o que pode simplificar a integral.

Passo 3

Com dx = 2 sec(theta) tan(theta) dtheta , precisamos calcular . A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, substituímos x^2 - 4 = (2 sec(theta))^2 - 4 = 4 sec^2(theta) - 4 = 4(sec^2(theta) - 1) = 4 tan^2(theta) e 1x^2 - 4 = 14 tan^2(theta) na função original:
Portanto, a função fica:

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
integral 1x^2 - 4 dx = integral 14 tan^2(theta) cdot 2 sec(theta) tan(theta) dtheta = integral 2 sec(theta) tan(theta)4 tan^2(theta) dtheta = 12 integral sec(theta)tan(theta) dtheta

Passo 6

Simplificamos a expressão:
sec(theta)tan(theta) = 1cos(theta)sin(theta)cos(theta) = 1sin(theta) = csc(theta)
Então, a integral fica:
12 integral csc(theta) dtheta

Passo 7

A integral de integral csc(theta) dtheta = ln |tan(theta/2)| + C é conhecida:
12 ln |tan(theta/2)| + C
Portanto:

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original sec(theta) = x2 Rightarrow cos(theta) = 2x . Lembrando que tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x2)^2 - 1 = raizx^24 - 1 = raizx^2 - 42 , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
E:

Passo 9

Substituindo tan(theta2) = sin(theta)1 + cos(theta) = raiz1 - cos^2(theta)1 + cos(theta) = raiz1 - (2x)^21 + 2x = raizx^2 - 4x^2x + 2x = raizx^2 - 4xx + 2x = raizx^2 - 4x + 2 de acordo com a relação trigonométrica:

Passo 10

Finalmente, substituindo na expressão da integral:
12 ln | raizx^2 - 4x + 2 | + C
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
12 ln |x - 2| - 12 ln |x + 2| + C

Resposta

Sim, é possível fazer a integral usando a substituição 12 ln |x - 2| - 12 ln |x + 2| + C . A integral resulta em:

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