Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
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Se para todo , se , determine Resposta:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função utilizando a substituição . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e substituições trigonométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que estamos expressando em termos de , o que pode simplificar a integral.
Passo 3
Com , precisamos calcular . A derivada de é , então:
Passo 4
Agora, substituímos e na função original:
Portanto, a função fica:
Passo 5
Substituindo tudo na integral:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 7
A integral de é conhecida:
Portanto:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
E:
Passo 9
Substituindo de acordo com a relação trigonométrica:
Passo 10
Finalmente, substituindo na expressão da integral:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
Sim, é possível fazer a integral usando a substituição . A integral resulta em: