Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(j) Dica: Use a substituição ,Resposta: )
19
Seja e funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real :
I.
II. O valor médio de no intervalo é
III.
IV.
(a) Ache em termos de b.(Resposta: )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função contínua e diferenciável que satisfaz algumas condições dadas. Nosso objetivo é encontrar o valor da integral em termos de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de integrais e valor médio de função.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na Condição II, que fala sobre o valor médio de no intervalo . O valor médio de uma função nesse intervalo é dado por:
é
Sabemos que esse valor médio é igual a . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para a integral :
Então, já sabemos que a integral de de 1 a 3 é .

Passo 4

Vamos olhar para a Condição I, que nos dá a integral de de 1 a 3:
Para simplificar isso, vamos fazer uma substituição de variável. Seja , então . Quando , e quando , . Portanto, a integral fica:
Isso nos mostra que a integral de de 3 a 5 é igual a .

Passo 5

Agora, queremos encontrar . Podemos dividir essa integral em duas partes:
Já sabemos que:
Então, somando as duas integrais:

Resposta

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Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
© (Dica: Use o fato que para simplificar o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por e depois faça por substituição), Resposta: )
Resolva as integrais abaixo:
(h) (Resposta: )
Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
21
Se para todo , se , determine Resposta:
Se e , determine . (Resposta: 9 )
26
Se , então quanto vale ? (Resposta: )