Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(j)
Dica: Use a substituição
,Resposta:
)
19
Seja
e
funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real
:
I.
II. O valor médio de
no intervalo
é
III.
IV.
(a) Ache
em termos de b.(Resposta:
)
(j)
19
Seja
I.
II. O valor médio de
III.
IV.
(a) Ache
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
contínua e diferenciável que satisfaz algumas condições dadas. Nosso objetivo é encontrar o valor da integral
em termos de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de integrais e valor médio de função.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na Condição II, que fala sobre o valor médio de
no intervalo
. O valor médio de uma função
nesse intervalo é dado por:
Sabemos que esse valor médio é igual a
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para a integral
:
Então, já sabemos que a integral de
de 1 a 3 é
.
Passo 4
Vamos olhar para a Condição I, que nos dá a integral de
de 1 a 3:
Para simplificar isso, vamos fazer uma substituição de variável. Seja
, então
. Quando
,
e quando
,
. Portanto, a integral fica:
Isso nos mostra que a integral de
de 3 a 5 é igual a
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar
. Podemos dividir essa integral em duas partes:
Já sabemos que:
Então, somando as duas integrais:
Resposta
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Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
© (Dica: Use o fato que
para simplificar o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por
e depois faça por substituição), Resposta:
)
©
Resolva as integrais abaixo:
(h) (Resposta:
)
(h)
Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
21
Se para todo , se
, determine
Resposta:
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição
21
Se para todo
Se
e
, determine
. (Resposta: 9 )
26
Se , então quanto vale
? (Resposta:
)
26
Se