Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(j) integral d xx^2 raizx^2+1( Dica: Use a substituição x=tg(theta) ,Resposta: -raizx^2+1x+C )
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Seja f e g funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real b :
I. integral1^3 f(x+2) d x=3 b
II. O valor médio de f no intervalo [1,3] é 2 b
III. integral-4^x g(t) d t=f(x)+3 x
IV. g(x)=4 b+f^prime(x)
(a) Ache integral1^5 f(x) d x em termos de b.(Resposta: 7 b )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função contínua e diferenciável que satisfaz algumas condições dadas. Nosso objetivo é encontrar o valor da integral em termos de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de integrais e valor médio de função.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na Condição II, que fala sobre o valor médio de Valor médio = 13 - 1 integral1^3 f(x) , dx no intervalo 2b = 12 integral1^3 f(x) , dx . O valor médio de uma função nesse intervalo é dado por:
é
Sabemos que esse valor médio é igual a . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para a integral 2b = 12 integral1^3 f(x) , dx implies integral1^3 f(x) , dx = 4b :
Então, já sabemos que a integral de de 1 a 3 é .

Passo 4

Vamos olhar para a Condição I, que nos dá a integral de integral1^3 f(x+2) , dx = 3b de 1 a 3:
integral1^3 f(x+2) , dx = integral3^5 f(u) , du = 3b
Para simplificar isso, vamos fazer uma substituição de variável. Seja , então . Quando , e quando , . Portanto, a integral fica:
Isso nos mostra que a integral de de 3 a 5 é igual a .

Passo 5

Agora, queremos encontrar integral1^5 f(x) , dx = integral1^3 f(x) , dx + integral3^5 f(x) , dx . Podemos dividir essa integral em duas partes:
integral1^3 f(x) , dx = 4b e integral3^5 f(x) , dx = 3b
Já sabemos que:
integral1^5 f(x) , dx = 4b + 3b = 7b
Então, somando as duas integrais:

Resposta

integral1^5 f(x) , dx = 7b

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