Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
© integral0^pi4 raiz1+cos (4 x) d x (Dica: Use o fato que cos ^2(theta)=1+cos (2 theta)2 para simplificar o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por raiz1-cos (4 x) e depois faça por substituição), Resposta: raiz22 )

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 . Podemos utilizar a identidade trigonométrica:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
Aqui, vamos ajustar essa identidade para corresponder à nossa expressão. Vamos definir 2cos^2(2x) = 1 + cos(4x) , então:
1 + cos(4x) = 2cos^2(2x)
Multiplicando ambos os lados por 2:
Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral0^pi4 raiz1+cos (4 x) , dx = integral0^pi4 raiz2cos^2(2x) , dx
A raiz de raiz2cos^2(2x) = raiz2 cdot |cos(2x)| pode ser simplificada:
raiz2 cdot |cos(2x)| = raiz2 cdot cos(2x)
Como raiz2 integral0^pi4 cos(2x) , dx varia de 0 a , varia de 0 a . Nessa faixa, o cosseno é positivo, então:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 + C . A antiderivada de raiz2 [ sin(2x)2 ]0^pi4 = raiz2 ( sin(2 cdot pi4)2 - sin(0)2 ) é , então:
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Calculando os valores das funções trigonométricas:
sin(2 cdot pi4) = sin(pi2) = 1
sin(0) = 0
Substituindo:
raiz2 ( 12 - 0 ) = raiz2 cdot 12 = raiz22

Resposta

O valor da integral é .

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