Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
©
(Dica: Use o fato que
para simplificar o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por
e depois faça por substituição), Resposta:
)
©
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
. Podemos utilizar a identidade trigonométrica:
Aqui, vamos ajustar essa identidade para corresponder à nossa expressão. Vamos definir
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Portanto:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
A raiz de
pode ser simplificada:
Como
varia de 0 a
,
varia de 0 a
. Nessa faixa, o cosseno é positivo, então:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Calculando os valores das funções trigonométricas:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo:
(h) (Resposta:
)
(h)
Resolva as integrais abaixo:
© Resposta:
©
Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(j) Dica: Use a substituição
,Resposta:
)
19
Seja e
funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real
:
I.
II. O valor médio de no intervalo
é
III.
IV.
(a) Ache em termos de b.(Resposta:
)
(j)
19
Seja
I.
II. O valor médio de
III.
IV.
(a) Ache
Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
21
Se para todo , se
, determine
Resposta:
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição
21
Se para todo