Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
© (Dica: Use o fato que para simplificar o integrando (ou multiplique e divida o mesmo por e depois faça por substituição), Resposta: )

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é . Podemos utilizar a identidade trigonométrica:
Aqui, vamos ajustar essa identidade para corresponder à nossa expressão. Vamos definir , então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
A raiz de pode ser simplificada:
Como varia de 0 a , varia de 0 a . Nessa faixa, o cosseno é positivo, então:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . A antiderivada de é , então:
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Calculando os valores das funções trigonométricas:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Resolva as integrais abaixo:
(h) (Resposta: )
Resolva as integrais abaixo:
© Resposta:
Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(j) Dica: Use a substituição ,Resposta: )
19
Seja e funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real :
I.
II. O valor médio de no intervalo é
III.
IV.
(a) Ache em termos de b.(Resposta: )
Seja a função
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
21
Se para todo , se , determine Resposta: