Seja f: R R a função dada por
f(x)=cc x^2+x-6x-2 & se x<2 b & se x=2 sen(x^2-4)+2 a & se x>2
(a) Calcule lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).
(b) Determine, caso existam, a e b para que f seja contínua em x=2. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos analisar o comportamento dela quando se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e a continuidade de funções. Vamos precisar entender como calcular limites laterais (esquerdo e direito) e usar isso para determinar os valores de e que fazem a função ser contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) = x^2 + x - 6x - 2 quando x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, f(x) = (x + 3)(x - 2)x - 2 . Para f(x) = x + 3 para x < 2 , a função é:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x + 3) = 2 + 3 = 5
Antes de mais nada, vamos simplificar essa fração. O numerador pode ser fatorado. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão +1. Esses números são +3 e -2. Então:
Agora, a função fica:
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador (desde que ):
Então, o limite pela esquerda é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = sin(x^2 - 4) + 2a quando limx to 2^+ f(x) = sin(0) + 2a = 0 + 2a = 2a se aproxima de 2 pela direita, ou seja, . Para , a função é:
Para encontrar esse limite, observamos que quando se aproxima de 2, se aproxima de . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora que temos os limites laterais, podemos passar para a parte (b), que é determinar os valores de limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = f(2) e 5 = 2a = b para que a função seja contínua em . Para isso, precisamos que os limites pela esquerda e pela direita sejam iguais e também iguais ao valor da função em , que é .
Então, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso nos dá duas equações:

Resposta

Para que a função a = 52 e b = 5 seja contínua em , os valores devem ser:

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