Seja a função dada por
(a) Calcule e .
(b) Determine, caso existam, e para que seja contínua em . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos analisar o comportamento dela quando se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e a continuidade de funções. Vamos precisar entender como calcular limites laterais (esquerdo e direito) e usar isso para determinar os valores de e que fazem a função ser contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, . Para , a função é:
Antes de mais nada, vamos simplificar essa fração. O numerador pode ser fatorado. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão +1. Esses números são +3 e -2. Então:
Agora, a função fica:
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador (desde que ):
Então, o limite pela esquerda é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, . Para , a função é:
Para encontrar esse limite, observamos que quando se aproxima de 2, se aproxima de . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora que temos os limites laterais, podemos passar para a parte (b), que é determinar os valores de e para que a função seja contínua em . Para isso, precisamos que os limites pela esquerda e pela direita sejam iguais e também iguais ao valor da função em , que é .
Então, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso nos dá duas equações:

Resposta

Para que a função seja contínua em , os valores devem ser:

Exercícios relacionados

Mostre que: Se , então .
Seja a função dada por
(a) Calcule .
(b) A função é contínua em ? Justifique sua resposta.
Determine os domínios das funções vetoriais abaixo: ;
Derive cada uma das funções dadas abaixo: