Seja f: R -> R a função definida por f(x) = x^3 - 2. (a) Encontre um número real delta > 0 tal que se
0 < |x - 2| < delta então |f(x) - 6| < 0,01ã

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um número real tal que, se , então , onde . Aqui, a função dada é . Vamos usar o conceito de limites e a definição de - para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Substituindo , temos:
Então, queremos que .

Passo 3

Vamos fatorar . Sabemos que . Aqui, , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos controlar os dois fatores: e . Vamos começar impondo que . Para facilitar, vamos supor que , o que significa que está no intervalo .

Passo 5

Dentro desse intervalo, vamos calcular o valor máximo de :
  • Se :
  • Se :
Então, nesse intervalo.

Passo 6

Voltando à nossa inequação:
Queremos que . Para encontrar , basta dividir por :

Passo 7

Lembrando que supomos , nossa final será o menor valor entre e . Assim:

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

Exercícios relacionados

Determine os limites com x -> infinito e x -> -infinito
Seja f(x) = x^2 / (x + 1)
Determine o dominio da funçâo f.
Calcule © lim x -2 e^x^2+x-2
Calcule (d) lim x 0 ln e^x^5+x^3+1