- A variável aleatória bidimensional (
) tem função de densidade dada pela expressão
.
Determine a constante c e as funções de densidade marginais.
Determine a constante c e as funções de densidade marginais.
Passo 1
Vamos resolver um exercício envolvendo variáveis aleatórias bidimensionais. A questão pede para encontrarmos a constante
na função de densidade conjunta
e também as funções de densidade marginais de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o valor da constante
. Sabemos que a função de densidade conjunta deve integrar para 1 sobre todo o espaço das variáveis. Então, vamos calcular a integral dupla de
no intervalo de
a
para ambos
e
:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa em relação a
:
Passo 5
Como a integral total deve ser igual a 1, temos:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, agora vamos determinar as funções de densidade marginais. A densidade marginal de
é dada por:
Analogamente, a densidade marginal de
é:
Resposta
A constante
é igual a 1. As funções de densidade marginais são:
Exercícios relacionados
-
vetor aleatório ( ) é chamado de uniformemente distribuído em uma região do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é:
(a) Mostre que
área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em
e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais e
tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que ( ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine
.
(b) Mostre que as marginais
©Qual é a probabilidade de que (
- Seja função de densidade
. Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .
Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja
. Descreva os eventos:
a) o número obrido é par
a) o número obrido é par
- A variável aleatória (X,Y) tem densidade igual a
. Determine .