• A variável aleatória bidimensional ( X, Y ) tem função de densidade dada pela expressão f(x, y)=c(x+y), x in(0,1), y in(0,1).
    Determine a constante c e as funções de densidade marginais.

Passo 1

Vamos resolver um exercício envolvendo variáveis aleatórias bidimensionais. A questão pede para encontrarmos a constante na função de densidade conjunta e também as funções de densidade marginais de e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o valor da constante integral0^1 integral0^1 c(x + y) , dx , dy = 1 . Sabemos que a função de densidade conjunta deve integrar para 1 sobre todo o espaço das variáveis. Então, vamos calcular a integral dupla de no intervalo de a para ambos e :

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 (x + y) , dx = integral0^1 x , dx + integral0^1 y , dx = [x^22]0^1 + y cdot [x]0^1 = 12 + y :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa em relação a c integral0^1 (12 + y) , dy = c [ 12y + y^22 ]0^1 = c ( 12 + 12 ) = c cdot 1 = c :

Passo 5

Como a integral total deve ser igual a 1, temos:
c = 1

Passo 6

Com o valor de fX(x) = integral0^1 f(x, y) , dy = integral0^1 (x + y) , dy = x cdot 1 + 12 = x + 12 encontrado, agora vamos determinar as funções de densidade marginais. A densidade marginal de fY(y) = integral0^1 f(x, y) , dx = integral0^1 (x + y) , dx = y cdot 1 + 12 = y + 12 é dada por:
Analogamente, a densidade marginal de é:

Resposta

A constante fX(x) = x + 12 é igual a 1. As funções de densidade marginais são:
fY(y) = y + 12

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