• A variável aleatória bidimensional ( ) tem função de densidade dada pela expressão .
    Determine a constante c e as funções de densidade marginais.

Passo 1

Vamos resolver um exercício envolvendo variáveis aleatórias bidimensionais. A questão pede para encontrarmos a constante na função de densidade conjunta e também as funções de densidade marginais de e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o valor da constante . Sabemos que a função de densidade conjunta deve integrar para 1 sobre todo o espaço das variáveis. Então, vamos calcular a integral dupla de no intervalo de a para ambos e :

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa em relação a :

Passo 5

Como a integral total deve ser igual a 1, temos:

Passo 6

Com o valor de encontrado, agora vamos determinar as funções de densidade marginais. A densidade marginal de é dada por:
Analogamente, a densidade marginal de é:

Resposta

A constante é igual a 1. As funções de densidade marginais são:

Exercícios relacionados

  • vetor aleatório ( ) é chamado de uniformemente distribuído em uma região do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é:
á
(a) Mostre que área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais e tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que ( ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine .
  • Seja função de densidade . Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .
Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja . Descreva os eventos:
a) o número obrido é par
  • A variável aleatória (X,Y) tem densidade igual a . Determine .