- A variável aleatória bidimensional (
) tem função de densidade dada pela expressão
.
Determine a constante c e as funções de densidade marginais.
Determine a constante c e as funções de densidade marginais.
Passo 1
Vamos resolver um exercício envolvendo variáveis aleatórias bidimensionais. A questão pede para encontrarmos a constante
na função de densidade conjunta
e também as funções de densidade marginais de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o valor da constante
. Sabemos que a função de densidade conjunta deve integrar para 1 sobre todo o espaço das variáveis. Então, vamos calcular a integral dupla de
no intervalo de
a
para ambos
e
:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa em relação a
:
Passo 5
Como a integral total deve ser igual a 1, temos:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, agora vamos determinar as funções de densidade marginais. A densidade marginal de
é dada por:
Analogamente, a densidade marginal de
é:
Resposta
A constante
é igual a 1. As funções de densidade marginais são: