Seja uma função densidade de probabilidade dada por:
(a) Encontre a função de distribuição acumulada.
(b) Esboce o gráfico da função de distribuição acumulada.
© Calcule

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função densidade de probabilidade definida por pedaços diferentes em intervalos distintos. Nosso objetivo aqui é resolver três partes:
a) Encontrar a função de distribuição acumulada (CDF),
b) Fazer um esboço do gráfico dessa CDF,
c) Calcular a probabilidade de estar entre 0,5 e 1,3.
Vamos precisar entender um pouco sobre integrais porque a CDF é basicamente a integral da função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). A função de distribuição acumulada é obtida integrando a função densidade de até . No nosso caso, como é zero fora de 0 a 2, só vamos integrar nesses intervalos.

Passo 3

Para , a função . Então, a CDF nesse intervalo é:
Isso significa que até qualquer entre 0 e 1, a probabilidade acumulada é .

Passo 4

Para , a função . Agora, a CDF será a probabilidade acumulada até 1 mais a integral de de 1 até :
Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 5

Então, juntando tudo, a função de distribuição acumulada fica assim:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) e esboçar o gráfico da CDF. A CDF começa em 0, aumenta de forma quadrática entre 0 e 1, depois continua aumentando mas de forma linear decrescente até chegar a 1 em . Fora desse intervalo, ela fica constante.

Passo 7

Por último, na parte ©, queremos calcular . Isso é a diferença entre e .

Passo 8

Calculando usando a primeira parte da CDF:

Passo 9

Como 1,3 está entre 1 e 2, usamos a segunda parte da CDF:

Passo 10

Então, a probabilidade é:

Resposta

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x 2 3 4 5 6 total
0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 1
(a) Calcular e ;
(b) Calcular e ;
© Encontre a f.d.a. de e construa seu gráfico;
(d) Quais valores de X estão no intervalo de ;
(e) Encontre e , onde .
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