Seja f(x) uma função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=cc x, & se 0
(a) Encontre a função de distribuição acumulada.
(b) Esboce o gráfico da função de distribuição acumulada.
© Calcule P(0,5

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função densidade de probabilidade definida por pedaços diferentes em intervalos distintos. Nosso objetivo aqui é resolver três partes:
a) Encontrar a função de distribuição acumulada (CDF),
b) Fazer um esboço do gráfico dessa CDF,
c) Calcular a probabilidade de estar entre 0,5 e 1,3.
Vamos precisar entender um pouco sobre integrais porque a CDF é basicamente a integral da função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). A função de distribuição acumulada é obtida integrando a função densidade de até . No nosso caso, como é zero fora de 0 a 2, só vamos integrar nesses intervalos.

Passo 3

Para F(x) = integral0^x t,dt = 12x^2 , a função . Então, a CDF nesse intervalo é:
Isso significa que até qualquer entre 0 e 1, a probabilidade acumulada é .

Passo 4

Para F(x) = 12(1)^2 + integral1^x (2 - t),dt = 12 + [2t - 12t^2]1^x , a função F(x) = 12 + (2x - 12x^2 - (2(1) - 12(1)^2)) = 12 + 2x - 12x^2 - 32 = 2x - 12x^2 - 1 . Agora, a CDF será a probabilidade acumulada até 1 mais a integral de F(x) = -12x^2 + 2x - 1 de 1 até :
Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 5

Então, juntando tudo, a função de distribuição acumulada F(x) = 0, & x <= 0 12x^2, & 0 < x < 1 -12x^2 + 2x - 1, & 1 <= x <= 2 1, & x >= 2 fica assim:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) e esboçar o gráfico da CDF. A CDF começa em 0, aumenta de forma quadrática entre 0 e 1, depois continua aumentando mas de forma linear decrescente até chegar a 1 em . Fora desse intervalo, ela fica constante.

Passo 7

Por último, na parte ©, queremos calcular . Isso é a diferença entre e .

Passo 8

Calculando F(0,5) = 12(0,5)^2 = 12 times 0,25 = 0,125 usando a primeira parte da CDF:

Passo 9

Como 1,3 está entre 1 e 2, usamos a segunda parte da CDF:
F(1,3) = -12(1,3)^2 + 2(1,3) - 1 = -12(1,69) + 2,6 - 1 = -0,845 + 2,6 - 1 = 0,755

Passo 10

Então, a probabilidade é:
P(0,5 < X < 1,3) = F(1,3) - F(0,5) = 0,755 - 0,125 = 0,63

Resposta

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