Seja a v.a
com função de densidade de probabilidade dada por
c) Calcule o valor esperado da v.a
, sua moda, sua mediana e seu desvio padrão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória
com a função de densidade de probabilidade dada por:
O que precisamos calcular aqui são quatro coisas:
- Valor esperado (
) - Moda
- Mediana
- Desvio padrão
Vamos precisar de conceitos básicos de probabilidade contínua, como integrais para encontrar o valor esperado e a mediana, e também entender o que são moda e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado
. O valor esperado é basicamente a “média” da distribuição e é calculado pela integral de
multiplicado pela função de densidade
em todo o domínio da variável.
A fórmula é:
Mas como
fora de
, a integral fica entre
e
:
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Então, o valor esperado
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a moda da distribuição. A moda é o valor de
que maximiza a função de densidade
.
Nossa função é
para
.
Como
é maior quanto maior o valor absoluto de
, a função
atinge seu máximo nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Portanto, a distribuição tem duas modas:
e
.
Passo 5
Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor de
tal que a probabilidade de
ser menor ou igual a
é 0,5.
Matematicamente:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Primeiro, calculamos a integral:
Igualando a 0,5:
Então, a mediana é
.
Passo 6
Por último, vamos calcular o desvio padrão. O desvio padrão mede a dispersão dos valores em relação ao valor esperado.
Primeiro, calculamos a variância
.
Já sabemos que
, então:
Vamos calcular
:
Então,
.
O desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Resposta
- Valor esperado (
): 0 - Moda:
e - Mediana: 0
- Desvio padrão: aproximadamente 0,775