Seja a v.a X com função de densidade de probabilidade dada por
f(x)=l 32 x^2, se -1 <= x <= 1 0, caso contrário á
c) Calcule o valor esperado da v.a X, sua moda, sua mediana e seu desvio padrão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória f(x)=l 32 x^2, se -1 <= x <= 1 0, caso contrário com a função de densidade de probabilidade dada por:
á
O que precisamos calcular aqui são quatro coisas:
  1. Valor esperado ( )
  2. Moda
  3. Mediana
  4. Desvio padrão
Vamos precisar de conceitos básicos de probabilidade contínua, como integrais para encontrar o valor esperado e a mediana, e também entender o que são moda e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado E[X] = integral-infty^+infty x f(x) , dx . O valor esperado é basicamente a “média” da distribuição e é calculado pela integral de E[X] = integral-1^1 x cdot 32 x^2 , dx = 32 integral-1^1 x^3 , dx multiplicado pela função de densidade em todo o domínio da variável.
A fórmula é:
Mas como fora de , a integral fica entre e :

Passo 3

Vamos resolver essa integral:
32 integral-1^1 x^3 , dx = 32 [ x^44 ]-1^1 = 32 ( 14 - 14 ) = 32 cdot 0 = 0
Então, o valor esperado .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a moda da distribuição. A moda é o valor de que maximiza a função de densidade .
Nossa função é para .
Como é maior quanto maior o valor absoluto de , a função atinge seu máximo nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Portanto, a distribuição tem duas modas: e .

Passo 5

Vamos calcular a mediana. A mediana é o valor de integral-1^m 32 x^2 , dx = 0,5 tal que a probabilidade de 32 integral-1^m x^2 , dx = 32 [ x^33 ]-1^m = 12 (m^3 - (-1)^3) = 12 (m^3 + 1) ser menor ou igual a 12 (m^3 + 1) = 0,5 m^3 + 1 = 1 m^3 = 0 m = 0 é 0,5.
Matematicamente:
Vamos resolver essa equação para encontrar .
Primeiro, calculamos a integral:
Igualando a 0,5:
Então, a mediana é .

Passo 6

Por último, vamos calcular o desvio padrão. O desvio padrão mede a dispersão dos valores em relação ao valor esperado.
Primeiro, calculamos a variância Var(X) = E[X^2] .
Já sabemos que E[X^2] = integral-1^1 x^2 cdot 32 x^2 , dx = 32 integral-1^1 x^4 , dx = 32 [ x^55 ]-1^1 = 32 ( 15 - (-1)^55 ) = 32 ( 15 + 15 ) = 32 cdot 25 = 35 , então:
sigma = raiz35 approx 0,775
Vamos calcular :
Então, .
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

  • Valor esperado ( ): 0
  • Moda: e
  • Mediana: 0
  • Desvio padrão: aproximadamente 0,775

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