Seja a v.a X com função de densidade de probabilidade dada por
f(x)=l 32 x^2, se -1 <= x <= 1 0, caso contrário á
a) Mostre que f(x) é de fato uma função de densidade de probabilidade;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória f(x) = 32 x^2, & se -1 <= x <= 1 0, & caso contrário com uma função de densidade de probabilidade definida por
á
O objetivo é mostrar que é realmente uma função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos verificar duas coisas principais da teoria de probabilidades:
  1. Não-negatividade: deve ser maior ou igual a zero para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos seguir esses passos para confirmar que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = 32 x^2, & se -1 <= x <= 1 0, & caso contrário é não negativo para todo 32 x^2 >= 0 .
Observando a definição de :
á
Sabemos que é sempre não negativo, ou seja, para qualquer valor de . Multiplicando por , que é positivo, temos:
Fora do intervalo , , que também é não negativo. Portanto, para todo .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a integral de integral-infty^+infty f(x) , dx sobre todo o seu domínio é igual a 1. Isso significa calcular:
integral-1^1 32 x^2 , dx
Como é diferente de zero apenas no intervalo , podemos simplificar a integral para:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Para integrar integral 32 x^2 , dx = 32 cdot x^33 = x^32 de x^32 |-1^1 = (1)^32 - (-1)^32 = 12 - ( -12 ) = 12 + 12 = 1 a , vamos encontrar a antiderivada:
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de a :

Resposta

Como a integral de no intervalo é igual a 1 e é não negativa para todo , concluímos que é de fato uma função de densidade de probabilidade.

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