Seja a v.a com função de densidade de probabilidade dada por
a) Mostre que é de fato uma função de densidade de probabilidade;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade definida por
O objetivo é mostrar que é realmente uma função de densidade de probabilidade. Para isso, precisamos verificar duas coisas principais da teoria de probabilidades:
Não-negatividade: deve ser maior ou igual a zero para todo .
Integral igual a 1: A integral de sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos seguir esses passos para confirmar que satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é não negativo para todo .
Observando a definição de :
Sabemos que é sempre não negativo, ou seja, para qualquer valor de . Multiplicando por , que é positivo, temos:
Fora do intervalo , , que também é não negativo. Portanto, para todo .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a integral de sobre todo o seu domínio é igual a 1. Isso significa calcular:
Como é diferente de zero apenas no intervalo , podemos simplificar a integral para:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Para integrar de a , vamos encontrar a antiderivada:
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de a :
Resposta
Como a integral de no intervalo é igual a 1 e é não negativa para todo , concluímos que é de fato uma função de densidade de probabilidade.