Seja uma função diferenciável tal que para todo . Verifique que a elipse de equação está contida numa curva de nível de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação para todo ponto . A gente precisa verificar se a elipse de equação está contida em uma curva de nível de . Para resolver isso, vamos usar **equações diferenciais parciais** e entender como elas definem as curvas de nível da função . Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada: Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essa é uma **equação diferencial parcial de primeira ordem**. Para resolver, podemos usar o método das **características**, que nos ajuda a encontrar curvas ao longo das quais a função é constante.

Passo 3

Usando o método das características, definimos a relação entre as derivadas: Isso vem da equação original , rearranjando para obter a inclinação das curvas características.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial ordinária: Podemos separar as variáveis: Integrando ambos os lados: Multiplicando tudo por 2 para simplificar: Onde é a constante de integração.

Passo 5

Rearranjando a equação, temos: Essa é a equação geral das **elipses**, onde cada valor de corresponde a uma elipse diferente.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é que é uma função constante ao longo das curvas características, ou seja: Onde é uma função arbitrária de .

Passo 7

Agora, vamos analisar a elipse dada no enunciado: Multiplicando ambos os lados por 4 para deixar na forma geral: Isso mostra que a elipse específica é uma das curvas características onde é constante.

Passo 8

Como a função é constante ao longo de , e a nossa elipse é , segue que a elipse está contida em uma **curva de nível** de , onde:

Resposta

A elipse está contida em uma curva de nível de , ou seja, é constante ao longo dessa elipse.

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Seja , com diferenciável. Calcule admitindo .
Use a regra da cadeia para determinar e , sendo dados: (a)
Sejam e dada por . Considere a função composta . Determine .