Seja uma função diferenciável tal que para todo . Verifique que a elipse de equação está contida numa curva de nível de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação para todo ponto . A gente precisa verificar se a elipse de equação está contida em uma curva de nível de .
Para resolver isso, vamos usar **equações diferenciais parciais** e entender como elas definem as curvas de nível da função . Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Essa é uma **equação diferencial parcial de primeira ordem**. Para resolver, podemos usar o método das **características**, que nos ajuda a encontrar curvas ao longo das quais a função é constante.
Passo 3
Usando o método das características, definimos a relação entre as derivadas:
Isso vem da equação original , rearranjando para obter a inclinação das curvas características.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação diferencial ordinária:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Rearranjando a equação, temos:
Essa é a equação geral das **elipses**, onde cada valor de corresponde a uma elipse diferente.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é que é uma função constante ao longo das curvas características, ou seja:
Onde é uma função arbitrária de .
Passo 7
Agora, vamos analisar a elipse dada no enunciado:
Multiplicando ambos os lados por 4 para deixar na forma geral:
Isso mostra que a elipse específica é uma das curvas características onde é constante.
Passo 8
Como a função é constante ao longo de , e a nossa elipse é , segue que a elipse está contida em uma **curva de nível** de , onde:
Resposta
A elipse está contida em uma curva de nível de , ou seja, é constante ao longo dessa elipse.
Exercícios relacionados
Seja , com diferenciável. Calcule admitindo .
Use a regra da cadeia para determinar e , sendo dados:
(a)
Sejam e dada por . Considere a função composta . Determine .