Use a regra da cadeia para determinar partial z / partial x e partial z / partial y, sendo dados:
(a) z=e^u+v, u=y / x, v=x / y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta, ou seja, uma função que depende de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dependências. A função depende de e , que por sua vez dependem de e . Portanto, para encontrar e , precisamos derivar em relação a e , e depois derivar e em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial u = ddu ( e^u + v ) = e^u + v e partial zpartial v = ddv ( e^u + v ) = e^u + v :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial upartial x = partialpartial x ( yx ) = -yx^2 e partial upartial y = partialpartial y ( yx ) = 1x em relação a partial vpartial x = partialpartial x ( xy ) = 1y e partial vpartial y = partialpartial y ( xy ) = -xy^2 :
Para :
Para :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para partial zpartial x = partial zpartial u cdot partial upartial x + partial zpartial v cdot partial vpartial x :
partial zpartial x = e^u + v cdot ( -yx^2 ) + e^u + v cdot ( 1y )
Substituindo os valores que encontramos:
partial zpartial x = e^u + v ( -yx^2 + 1y )

Passo 6

De maneira semelhante, aplicamos a Regra da Cadeia para partial zpartial y = partial zpartial u cdot partial upartial y + partial zpartial v cdot partial vpartial y :
partial zpartial y = e^u + v cdot 1x + e^u + v cdot ( -xy^2 )
Substituindo os valores:
partial zpartial y = e^u + v ( 1x - xy^2 )

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = e^u + v ( -yx^2 + 1y )
partial zpartial y = e^u + v ( 1x - xy^2 )

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