Sejam f(x, y) = x sen(x y) e T: R^2 -> R^2 dada por T(u, v) = (u^2 + v, u*v + v). Considere a função composta phi(u, v) = (f o T)(u, v). Determine nabla phi(1, pi).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar.
Enunciado resumido:
Temos uma função e uma transformação . Queremos compor essas funções para formar e, depois, calcular o gradiente dessa função composta no ponto .
Matéria envolvida:
Vamos trabalhar com cálculo de funções de várias variáveis, especificamente com função composta e gradiente. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função composta .
A função é definida como . Isso significa que, para cada par , a gente primeiro aplica e depois aplica no resultado.
Então, substituindo na função :

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de , que é o vetor das derivadas parciais de em relação a e , ou seja:
Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar das derivadas parciais de em relação a e , e também das derivadas de em relação a e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de :
Calculando as derivadas:
Agora, vamos calcular as derivadas da transformação :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de :

Passo 6

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos e nas derivadas de :
E também substituímos e nas derivadas de :
Agora, substituímos tudo na regra da cadeia:

Resposta

O gradiente da função composta no ponto é dado por:
Simplificando:
Esse é o gradiente da função composta no ponto especificado.

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