Sejam
e
dada por
. Considere a função composta
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar.
Enunciado resumido:
Temos uma função e uma transformação . Queremos compor essas funções para formar
e, depois, calcular o gradiente dessa função composta no ponto
.
Temos uma função e uma transformação
Matéria envolvida:
Vamos trabalhar com cálculo de funções de várias variáveis, especificamente com função composta e gradiente. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Vamos trabalhar com cálculo de funções de várias variáveis, especificamente com função composta e gradiente. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função composta
.
A função
é definida como
. Isso significa que, para cada par
, a gente primeiro aplica
e depois aplica
no resultado.
Então, substituindo
na função
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
, que é o vetor das derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja:
Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar das derivadas parciais de
em relação a
e
, e também das derivadas de
em relação a
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
:
Calculando as derivadas:
Agora, vamos calcular as derivadas da transformação
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
:
Passo 6
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos
e
nas derivadas de
:
E também substituímos
e
nas derivadas de
:
Agora, substituímos tudo na regra da cadeia:
Resposta
O gradiente da função composta
no ponto
é dado por:
Simplificando:
Esse é o gradiente da função composta no ponto especificado.
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para determinar
e
, sendo dados:
(a)
(a)
Seja
uma função diferenciável tal que
para todo
. Verifique que a elipse de equação
está contida numa curva de nível de
.
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
©
©
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)
(g)