Seja
, com
diferenciável. Calcule
admitindo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a derivada de uma função composta no ponto
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que usamos para derivar funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e usar as derivadas parciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Essa é uma função composta porque
depende de duas variáveis que, por sua vez, dependem de
.
Passo 3
Para encontrar
, que é a derivada de
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das funções internas.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada:
Então, substituindo na expressão:
Passo 6
Queremos encontrar
. Substituindo
na expressão:
Note que o segundo termo é zero porque
.
Passo 7
A questão nos dá que
. Substituindo esse valor:
Resposta
Portanto,
.