Seja varphi(t)=f(3 t, 2 t^2+1), com f diferenciável. Calcule varphi^prime(0) admitindo partial fpartial x(0,1)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a derivada de uma função composta no ponto . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que usamos para derivar funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e usar as derivadas parciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Essa é uma função composta porque depende de duas variáveis que, por sua vez, dependem de .

Passo 3

Para encontrar , que é a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das funções internas.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
varphi'(t) = partial fpartial x(3t, 2t^2 + 1) cdot ddt(3t) + partial fpartial y(3t, 2t^2 + 1) cdot ddt(2t^2 + 1)

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
  1. varphi'(t) = partial fpartial x(3t, 2t^2 + 1) cdot 3 + partial fpartial y(3t, 2t^2 + 1) cdot 4t
Então, substituindo na expressão:

Passo 6

Queremos encontrar varphi'(0) = partial fpartial x(0, 1) cdot 3 + partial fpartial y(0, 1) cdot 0 . Substituindo na expressão:
Note que o segundo termo é zero porque .

Passo 7

A questão nos dá que varphi'(0) = 5 cdot 3 + partial fpartial y(0, 1) cdot 0 = 15 . Substituindo esse valor:

Resposta

Portanto, .

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