Seja a função f: R -> R definida por f(x) = e^x. Verifique que se a in R e h != 0,
f(a+h)-f(a)/h = e^a(e^h-1)/h

Passo 1

Então, a gente tem uma função e queremos verificar se, para qualquer número real e diferente de zero, a expressão
é igual a
Vamos usar conceitos de funções exponenciais e manipulação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função na expressão original. Sabendo que e , temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Lembrando uma propriedade das exponenciais, . Substituindo isso na expressão, ficamos com:

Passo 4

Perceba que é um fator comum nos dois termos do numerador. Podemos fatorar esse termo:

Resposta

Assim, mostramos que

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