Considere
.
Encontre a inversa de
exibindo seu domínio e sua imagem.
Encontre a inversa de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos a função
. A gente precisa encontrar a função inversa dessa função e também determinar o domínio e a imagem dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de funções inversas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
pra facilitar. Então, temos:
Passo 3
Agora, pra achar a inversa, a gente troca
e
. Ficaria assim:
Passo 4
Em seguida, vamos isolar o
. Como a função logarítmica é a inversa da exponencial, podemos aplicar a exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Passo 5
Agora, resolvemos para
adicionando 2 nos dois lados da equação:
Passo 6
Então, a função inversa é:
Passo 7
Vamos identificar o domínio e a imagem da função inversa. Sabemos que a imagem da função original
é todo número real, então o domínio da inversa
será também todo número real.
Passo 8
O domínio da função original
é
, então a imagem da inversa
será
.
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e imagem
.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
.
Encontre .
Encontre
Seja a função
definida por
. Verifique que se
e
,
O conjunto solução da equação
é:
(a)
©
(b)
(d)
(a)
©
(b)
(d)
Encontre as soluções reais positivas da equação