Seja a função f(x)=raizx-raiz3x-3. Determine: lim x 3 f(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar o limite dessa função quando se aproxima de 3, ou seja, . Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Ao substituir diretamente na função, obtemos uma forma indefinida . Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite. Uma técnica útil nesse caso é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 3

O conjugado de f(x) = raizx - raiz3x - 3 times raizx + raiz3raizx + raiz3 = (raizx)^2 - (raiz3)^2(x - 3)(raizx + raiz3) é (raizx)^2 - (raiz3)^2 = x - 3 . Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por esse conjugado:
f(x) = x - 3(x - 3)(raizx + raiz3)
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, podemos cancelar o termo f(x) = 1raizx + raiz3 no numerador e no denominador:
limx to 3 f(x) = 1raiz3 + raiz3 = 12raiz3
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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