Seja a função: h(x)=lll2, & se & x>2, 3, & se & x=2, x^2 & se & x<2 Mostre que : lim x 2 h(x) neq 2,

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos mostrar que o limite dessa função quando se aproxima de 2 não é igual a 2. Isso envolve o estudo de limites em cálculo, especialmente limites laterais (direito e esquerdo). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela direita e pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função h(x) = 2, & se x > 2, 3, & se x = 2, x^2, & se x < 2 :
Aqui, a função tem três comportamentos diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de 2, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar esse limite, precisamos analisar os limites laterais: o limite pela direita ( limx to 2^+ h(x) = 2 ) e o limite pela esquerda ( ).
Limite pela direita ( ):
Quando se aproxima de 2 pelo lado direito, ou seja, , a função é igual a 2. Portanto:

Passo 4

Limite pela esquerda ( limx to 2^- h(x) = limx to 2^- x^2 = (2)^2 = 4 ):
Quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, ou seja, , a função é igual a . Então, calculamos o limite de quando se aproxima de 2:

Passo 5

Agora que temos os limites laterais:
limx to 2^+ h(x) = 2 e limx to 2^- h(x) = 4
Para que o limite geral exista, os dois limites laterais precisam ser iguais. Porém, aqui vemos que 2 não é igual a 4. Isso significa que o limite geral não existe ou não é igual a 2.

Resposta

Portanto, concluímos que:
limx to 2 h(x) neq 2

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