Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos mostrar que o limite dessa função quando se aproxima de 2 não é igual a 2. Isso envolve o estudo de limites em cálculo, especialmente limites laterais (direito e esquerdo). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela direita e pela esquerda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função h(x) = 2, & se x > 2, 3, & se x = 2, x^2, & se x < 2 :
Aqui, a função tem três comportamentos diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de 2, ou seja, .
Passo 3
Para encontrar esse limite, precisamos analisar os limites laterais: o limite pela direita ( limx to 2^+ h(x) = 2 ) e o limite pela esquerda ().
Limite pela direita ():
Quando se aproxima de 2 pelo lado direito, ou seja, , a função é igual a 2. Portanto:
Passo 4
Limite pela esquerda ( limx to 2^- h(x) = limx to 2^- x^2 = (2)^2 = 4 ):
Quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, ou seja, , a função é igual a . Então, calculamos o limite de quando se aproxima de 2:
Passo 5
Agora que temos os limites laterais:
limx to 2^+ h(x) = 2 e limx to 2^- h(x) = 4
Para que o limite geral exista, os dois limites laterais precisam ser iguais. Porém, aqui vemos que 2 não é igual a 4. Isso significa que o limite geral não existe ou não é igual a 2.