Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
(i) .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha da função ao longo da curva . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , calcular a derivada dessa parametrização e, por fim, aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . O enunciado já nos dá as equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro que varia de a .
Passo 3
Agora, vamos escrever o vetor posição que representa a curva :
Passo 4
O próximo passo é calcular a derivada de em relação a , ou seja, :
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o módulo da derivada , que representa o diferencial de arco :
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da raiz utilizando identidades trigonométricas. Sabemos que , mas para simplificação direta:
No entanto, para facilitar o cálculo da integral, observamos que a expressão pode ser mantida como está para integração numérica ou métodos mais avançados, mas para nosso propósito, seguiremos com a expressão original.
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da integral de linha para funções escalares:
Substituindo e :
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que , mas para o cálculo da integral, podemos considerar a expressão completa.
Passo 9
Finalmente, para resolver essa integral, geralmente utilizamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado, já que a expressão não se simplifica facilmente para integração analítica.