Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(i) integralC(x^2+y^2+z^2) d s, C: x=t, y=2 cos t, z=sin 2 t 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha da função ao longo da curva . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , calcular a derivada dessa parametrização e, por fim, aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva x = t, y = 2 cos t, z = sin 2t, 0 <= t <= 2pi . O enunciado já nos dá as equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro que varia de a .

Passo 3

Agora, vamos escrever o vetor posição r(t) = lang<= t, , 2 cos t, , sin 2t rang<= que representa a curva :

Passo 4

O próximo passo é calcular a derivada de r'(t) = lang<= dxdt, , dydt, , dzdt rang<= = lang<= 1, , -2 sin t, , 2 cos 2t rang<= em relação a , ou seja, :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o módulo da derivada |r'(t)| = raiz(1)^2 + (-2 sin t)^2 + (2 cos 2t)^2 = raiz1 + 4 sin^2 t + 4 cos^2 2t , que representa o diferencial de arco :

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da raiz utilizando identidades trigonométricas. Sabemos que 1 + 4 sin^2 t + 4 cos^2 2t = 1 + 4 sin^2 t + 4 (2 cos^2 t - 1)^2 , mas para simplificação direta:
No entanto, para facilitar o cálculo da integral, observamos que a expressão pode ser mantida como está para integração numérica ou métodos mais avançados, mas para nosso propósito, seguiremos com a expressão original.

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da integral de linha para funções escalares:
integralC f(x, y, z) , ds = integral0^2pi f(r(t)) |r'(t)| , dt
Substituindo integral0^2pi ( t^2 + (2 cos t)^2 + (sin 2t)^2 ) raiz1 + 4 sin^2 t + 4 cos^2 2t , dt e :

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro da integral:
t^2 + 4 cos^2 t + sin^2 2t
Sabemos que , mas para o cálculo da integral, podemos considerar a expressão completa.

Passo 9

Finalmente, para resolver essa integral, geralmente utilizamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado, já que a expressão não se simplifica facilmente para integração analítica.

Resposta

A integral de linha é igual a aproximadamente .

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