Seja a função de onda estacionária:
y(x, t)=ym cos (k x) sen(w t)
Encontre: partial^2 ypartial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda estacionária dada por:
y(x, t) = ym cos(k x) sin(omega t)
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a segunda derivada parcial dessa função em relação a x, ou seja, partial^2 ypartial x^2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e derivação de funções trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função que depende de mais de uma variável, como y(x, t), a derivada parcial em relação a x considera t como uma constante. Ou seja, a gente deriva y em relação a x mantendo t fixo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de y em relação a x:
partial ypartial x = partialpartial x ( ym cos(k x) sin(omega t) )
Como ym e sin(omega t) são constantes em relação a x, a derivada fica assim:
partial ypartial x = ym sin(omega t) cdot partialpartial x ( cos(k x) )
Sabemos que a derivada de cos(k x) em relação a x é -k sin(k x). Então:
partial ypartial x = ym sin(omega t) cdot (-k) sin(k x)
Simplificando:
partial ypartial x = -k ym sin(k x) sin(omega t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de y em relação a x, ou seja, derivar partial ypartial x novamente em relação a x:
partial^2 ypartial x^2 = partialpartial x ( -k ym sin(k x) sin(omega t) )
Novamente, $ -k y_{m} $ e -k ym são constantes em relação a sin(omega t), então a derivada fica:
x
A derivada de partial^2 ypartial x^2 = -k ym sin(omega t) cdot partialpartial x ( sin(k x) ) em relação a sin(k x) é x. Então:
k cos(k x)
Simplificando:
partial^2 ypartial x^2 = -k ym sin(omega t) cdot k cos(k x)

Resposta

A segunda derivada parcial de y em relação a x é:
partial^2 ypartial x^2 = -k^2 ym cos(k x) sin(omega t)

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