Calcule os limites usando a Regra de L lim theta 0 sen(theta^2)theta

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular o limite . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente utilizando a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar derivar o numerador e o denominador até obtermos uma forma que nos permita calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, observamos que, quando substituímos na função, obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se resulta em ou , então o limite pode ser calculado como , desde que este limite exista.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
f'(theta) = cos(theta^2) cdot 2theta
Derivada do denominador g'(theta) = 1 :

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
Sabemos que limtheta 0 2theta cos(theta^2) = 2 cdot 0 cdot 1 = 0 tende a quando tende a 0, e obviamente tende a 0. Portanto:

Resposta

O limite é .

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