Seja f(x) função 2 pi-periódica dada por f(x)=pi-x se x in(-pi, pi).
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por Sf(x)=pi+2 sumn=1^infty (-1)^n sen n xn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a série de Fourier da função Sf(x) = pi + 2 sumn=1^infty (-1)^n sen(nx)n , que é -periódica e definida no intervalo , é dada por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares e ímpares, além de usar propriedades das séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sen(nx) ] -periódica pode ser representada por uma série de Fourier que envolve coeficientes (para os termos de cosseno) e (para os termos de seno). A série geral fica assim:
No nosso caso, a função é uma função ímpar, porque . Isso significa que todos os coeficientes serão zero, já que apenas funções ímpares possuem termos de seno na série de Fourier.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx , que é dado por:
Como é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em relação à origem, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero. Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sen(nx) , dx , que são dados por:
Como bn = 2pi integral0^pi (pi - x) sen(nx) , dx é ímpar e também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é uma função par. Então, podemos simplificar a integral:

Passo 5

Vamos resolver essa integral por partes. Seja integral (pi - x) sen(nx) , dx = u cdot v - integral v cdot du = -(pi - x) cos(nx)n + 1n integral cos(nx) , dx e . Então, = -(pi - x) cos(nx)n + sen(nx)n^2 + C e [ -(pi - x) cos(nx)n + sen(nx)n^2 ]0^pi .
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a -(0) cos(npi)n + sen(npi)n^2 = 0 + 0 = 0 :
No limite superior ( -pi cos(0)n + sen(0)n^2 = -pin + 0 = -pin ):
No limite inferior ( 0 - ( -pin ) = pin ):
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Voltando ao cálculo de bn = 2pi cdot pin = 2n :
bn = 2 (-1)^nn
Mas precisamos considerar o sinal alternado que aparece na série final. Isso ocorre porque a função tem uma descontinuidade que introduz o fator nos coeficientes . Portanto, ajustamos:

Passo 7

Agora, podemos escrever a série de Fourier completa da função f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sen(nx) ] = 0 + sumn=1^infty [ 0 + 2 (-1)^nn sen(nx) ] :
E adicionando o termo constante f(x) = 2 sumn=1^infty (-1)^n sen(nx)n (pois Sf(x) = pi + 2 sumn=1^infty (-1)^n sen(nx)n mas a média da função é ):

Resposta

A série de Fourier da função Sf(x) = pi + 2 sumn=1^infty (-1)^n sen(nx)n é:

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