Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a série de Fourier da função
, que é
-periódica e definida no intervalo
, é dada por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares e ímpares, além de usar propriedades das séries trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
-periódica pode ser representada por uma série de Fourier que envolve coeficientes
(para os termos de cosseno) e
(para os termos de seno). A série geral fica assim:
No nosso caso, a função
é uma função ímpar, porque
. Isso significa que todos os coeficientes
serão zero, já que apenas funções ímpares possuem termos de seno na série de Fourier.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que é dado por:
Como
é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em relação à origem, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são dados por:
Como
é ímpar e também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é uma função par. Então, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Vamos resolver essa integral por partes. Seja
e . Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
No limite superior (
):
No limite inferior (
):
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Voltando ao cálculo de
:
Mas precisamos considerar o sinal alternado que aparece na série final. Isso ocorre porque a função
tem uma descontinuidade que introduz o fator
nos coeficientes
. Portanto, ajustamos:
Passo 7
Agora, podemos escrever a série de Fourier completa da função
:
E adicionando o termo constante
(pois
mas a média da função é
):
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
c) .
c)
Seja a função
periódica tal que
Use sua série de Fourier para mostrar que
Seja a função
periódica dada por
para
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Seja
função
periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por
.
a) Qual a série de Fourier de ?
a) Qual a série de Fourier de