Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a série de Fourier da função , que é -periódica e definida no intervalo , é dada por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares e ímpares, além de usar propriedades das séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função -periódica pode ser representada por uma série de Fourier que envolve coeficientes (para os termos de cosseno) e (para os termos de seno). A série geral fica assim:
No nosso caso, a função é uma função ímpar, porque . Isso significa que todos os coeficientes serão zero, já que apenas funções ímpares possuem termos de seno na série de Fourier.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que é dado por:
Como é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em relação à origem, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero. Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são dados por:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é uma função par. Então, podemos simplificar a integral:

Passo 5

Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a :
No limite superior ( ):
No limite inferior ( ):
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Voltando ao cálculo de :
Mas precisamos considerar o sinal alternado que aparece na série final. Isso ocorre porque a função tem uma descontinuidade que introduz o fator nos coeficientes . Portanto, ajustamos:

Passo 7

Agora, podemos escrever a série de Fourier completa da função :
E adicionando o termo constante (pois mas a média da função é ):

Resposta

A série de Fourier da função é:

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c) .
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