Seja a função posição de uma partícula de massa sujeita a um campo de forças , onde é um conjunto aberto e a imagem de está incluída em . Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
Se é a curva representada pela função , justifique os seguintes fatos: , então
onde v é a função velocidade da partícula em questão.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula de massa m que se move no espaço seguindo uma trajetória dada pela função posição r(t). Ela está sujeita a uma força F que depende da posição dela. A pergunta quer que a gente justifique uma relação entre a energia cinética e a energia potencial da partícula nos instantes t1 e t2. Pra isso, vamos precisar entender a Segunda Lei de Newton e o conceito de forças conservativas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante agindo numa partícula é igual à massa dessa partícula multiplicada pela sua aceleração:
F = m ddotr
Aqui, ddotr é a segunda derivada da posição, ou seja, a aceleração.
Passo 3
A questão também nos diz que a força F é igual a -D U(x, y, z), onde U(x, y, z) é a energia potencial. Na linguagem vetorial, isso significa que a força é o negativo do gradiente da energia potencial:
F = -nabla U
Isso caracteriza uma força conservativa, que é aquela cuja força pode ser derivada de uma energia potencial.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação da Segunda Lei de Newton pelo vetor velocidade v = dotr:
F cdot v = m ddotr cdot v
O lado esquerdo representa o trabalho realizado pela força, e o lado direito pode ser simplificado usando cálculo.
Passo 5
Vamos analisar o lado direito:
m ddotr cdot v = m ddotr cdot dotr
Isso é igual a:
ddt ( m2 |v|^2 )
Aqui, usamos a regra da derivada para obter a mudança na energia cinética.
Passo 6
No lado esquerdo, temos:
F cdot v = -nabla U cdot v = -dUdt
Isso representa a taxa de variação da energia potencial.
Passo 7
Igualando as duas expressões, ficamos com:
ddt ( m2 |v|^2 ) = -dUdt
Isso pode ser reescrito como:
ddt ( m2 |v|^2 + U ) = 0
O que significa que a quantidade dentro dos parênteses é constante no tempo.
Passo 8
Integrando essa igualdade entre os instantes t1 e t2, obtemos:
m2 |v(t1)|^2 + U(r(t1)) = m2 |v(t2)|^2 + U(r(t2))
Isso mostra que a soma da energia cinética e da energia potencial é a mesma nos dois instantes, ou seja, a energia total é conservada.
Resposta
A igualdade da energia total nos instantes t1 e t2 está justificada pela conservação da energia, resultado da Segunda Lei de Newton aplicada a uma força conservativa. Portanto: