Seja r:[t1, t2] R^3 a função posição de uma partícula de massa m sujeita a um campo de forças F: Dom(F) subset R^3 R^3, onde Dom(F) é um conjunto aberto e a imagem de r está incluída em Dom(F). Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
F(r(t))=m ddotr(t)
Se mathscrC é a curva representada pela função r, justifique os seguintes fatos: S e F(x, y, z)=-D U(x, y, z), então
m2|v(t1)|^2+U(r(t1))=m2|v(t2)|^2+U(r(t2))
onde v é a função velocidade da partícula em questão.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula de massa m que se move no espaço seguindo uma trajetória dada pela função posição r(t). Ela está sujeita a uma força F que depende da posição dela. A pergunta quer que a gente justifique uma relação entre a energia cinética e a energia potencial da partícula nos instantes t1 e t2. Pra isso, vamos precisar entender a Segunda Lei de Newton e o conceito de forças conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante agindo numa partícula é igual à massa dessa partícula multiplicada pela sua aceleração:
F = m ddotr
Aqui, ddotr é a segunda derivada da posição, ou seja, a aceleração.

Passo 3

A questão também nos diz que a força F é igual a -D U(x, y, z), onde U(x, y, z) é a energia potencial. Na linguagem vetorial, isso significa que a força é o negativo do gradiente da energia potencial:
F = -nabla U
Isso caracteriza uma força conservativa, que é aquela cuja força pode ser derivada de uma energia potencial.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação da Segunda Lei de Newton pelo vetor velocidade v = dotr:
F cdot v = m ddotr cdot v
O lado esquerdo representa o trabalho realizado pela força, e o lado direito pode ser simplificado usando cálculo.

Passo 5

Vamos analisar o lado direito:
m ddotr cdot v = m ddotr cdot dotr
Isso é igual a:
ddt ( m2 |v|^2 )
Aqui, usamos a regra da derivada para obter a mudança na energia cinética.

Passo 6

No lado esquerdo, temos:
F cdot v = -nabla U cdot v = -dUdt
Isso representa a taxa de variação da energia potencial.

Passo 7

Igualando as duas expressões, ficamos com:
ddt ( m2 |v|^2 ) = -dUdt
Isso pode ser reescrito como:
ddt ( m2 |v|^2 + U ) = 0
O que significa que a quantidade dentro dos parênteses é constante no tempo.

Passo 8

Integrando essa igualdade entre os instantes t1 e t2, obtemos:
m2 |v(t1)|^2 + U(r(t1)) = m2 |v(t2)|^2 + U(r(t2))
Isso mostra que a soma da energia cinética e da energia potencial é a mesma nos dois instantes, ou seja, a energia total é conservada.

Resposta

A igualdade da energia total nos instantes t1 e t2 está justificada pela conservação da energia, resultado da Segunda Lei de Newton aplicada a uma força conservativa. Portanto:
m2|v(t1)|^2+U(r(t1))=m2|v(t2)|^2+U(r(t2))

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