Seja f: R -> R uma função quadrática tal que f(x) = a * x^2 + b * x + c, a ≠ 0, ∀ x ∈ R. Sabendo que x1 = -1 e x2 = 5 são raízes e que f(1) = -8, pede-se: Determine os coeficientes a, b e c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função quadrática da forma , onde . Sabemos que as raízes dessa função são e , e que quando , . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e . Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se e são raízes da função quadrática, então a função pode ser escrita na forma fatorada:
Substituindo as raízes que temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir essa expressão para voltar à forma geral da função quadrática. Vamos multiplicar os binômios:
Então, temos:
Comparando com , percebemos que:

Passo 4

Agora, vamos usar a informação adicional que . Substituindo na função:
Portanto:

Passo 5

Com o valor de , podemos encontrar e usando as relações que encontramos antes:

Resposta

Os coeficientes são , e .

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