Calcule a série de Fourier da função f dada por
& f(x)= 0, & -pi <= x <= 0 1, & 0 <= x <= pi & f(x+2 pi)=f(x) forall x in R
Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para obter que
sumk=1^infty (-1)^k-12 k-1=1-13+15-17+19 ldots=pi4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a série de Fourier da função que é igual a 0 quando e igual a 1 quando . A função se repete a cada . Para resolver isso, vamos precisar entender como as séries de Fourier funcionam, ou seja, como representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Vamos passo a passo descobrir os coeficientes que vão compor essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica f(x) = a0 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) ) com período pode ser escrita como uma soma de termos , e :
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos. Nosso objetivo é encontrar todos esses coeficientes para a função dada.

Passo 3

Vamos começar calculando a0 = 12pi integral-pi^pi f(x) , dx , que representa a média da função no intervalo de um período. A fórmula para a0 = 12pi ( integral-pi^0 0 , dx + integral0^pi 1 , dx ) = 12pi (0 + pi) = 12 é:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx para an = 1pi integral0^pi 1 cdot cos(nx) , dx = 1pi [ sin(nx)n ]0^pi = 1pi ( sin(npi) - 0n ) = 0 . A fórmula é:
Mas como de a , a integral fica:
Pois para qualquer inteiro .

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx para bn = 1pi integral0^pi 1 cdot sin(nx) , dx = 1pi [ -cos(nx)n ]0^pi = 1pi ( -cos(npi) - 1n ) . A fórmula é:
bn = 1pi cdot 1 - (-1)^nn = 1 - (-1)^nnpi
Novamente, de a , então:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que f(x) = 12 + sumk=1^infty 2(2k-1)pi sin((2k-1)x) é igual a:
  • 0 quando é par
  • 2 quando é ímpar
Portanto, os coeficientes são zero para par e para ímpar. Podemos reescrever a série considerando apenas os termos ímpares:

Passo 7

Agora que temos a série de Fourier, podemos esboçar o gráfico. A função é uma onda quadrada que sobe de 0 para 1 em e volta para 0 em , repetindo-se a cada . A série de Fourier representa essa função como uma soma infinita de ondas senoidais de frequências ímpares, ajustando os termos para aproximar a forma quadrada.

Passo 8

Por fim, vamos usar a série de Fourier para encontrar a soma infinita dada:
sumk=1^infty (-1)^k-12k-1 = 1 - 13 + 15 - 17 + 19 - cdots = pi4
Sabemos que a série de Fourier da função 12 = 12 + sumk=1^infty 2(2k-1)pi sin((2k-1)pi2) no ponto sumk=1^infty (-1)^k-12k-1 = pi4 converge para o valor médio da função, que é . Substituindo na série:
Simplificando e resolvendo, chegaremos à conclusão de que:

Resposta

sumk=1^infty (-1)^k-12k-1 = pi4

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