Seja e funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real :
I.
II. O valor médio de no intervalo é
III.
IV.
(b) Encontre b.(Resposta: )
20
Seja a função
(a) Faça um esboço da função .

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o valor de com base nas condições dadas para as funções e . O conteúdo envolve cálculo integral, valor médio de uma função e derivadas. Para resolver, vamos usar as quatro condições apresentadas e aplicar conhecimentos de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição I:
Precisamos simplificar essa integral para expressá-la em termos de .

Passo 3

Fazendo uma mudança de variável para simplificar a integral, vamos definir . Assim, quando , , e quando , . A integral fica:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos para a condição II, que nos dá o valor médio de no intervalo :
é
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos duas integrais diferentes:
Se considerarmos a integral total de a :

Passo 6

Agora, vamos analisar a condição III:
Para encontrar , vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 7

Mas também temos a condição IV:
Comparando as duas expressões para :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Agora, é só resolver para :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Sejam as duas integrais abaixo:
b)
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.
Se a substituição é feita, como fica a integral ? (Resposta:
30
A substituição de na integral resulta em qual integral? (Resposta: )
Se para todo , se , determine Resposta:
22
Calcule (Resposta: )
A função densidade normal de probabilidade é dada por . Ache . (Resposta: )
28
Determine o valor médio das funções no intervalo dado:
(a) no intervalo . (Resposta: )