Seja f e g funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real b :
I. integral1^3 f(x+2) d x=3 b
II. O valor médio de f no intervalo [1,3] é 2 b
III. integral-4^x g(t) d t=f(x)+3 x
IV. g(x)=4 b+f^prime(x)
(b) Encontre b.(Resposta: 34 )
20
Seja a função f(x)=1x^2-4
(a) Faça um esboço da função f(x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o valor de com base nas condições dadas para as funções e . O conteúdo envolve cálculo integral, valor médio de uma função e derivadas. Para resolver, vamos usar as quatro condições apresentadas e aplicar conhecimentos de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição I:
integral1^3 f(x+2) , dx = 3b
Precisamos simplificar essa integral para expressá-la em termos de .

Passo 3

Fazendo uma mudança de variável para simplificar a integral, vamos definir integral1^3 f(x+2) , dx = integral3^5 f(u) , du = 3b . Assim, quando integral3^5 f(u) , du = 3b , , e quando , . A integral fica:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos para a condição II, que nos dá o valor médio de Valor médio = 13 - 1 integral1^3 f(x) , dx = 2b no intervalo 12 integral1^3 f(x) , dx = 2b implies integral1^3 f(x) , dx = 4b :
é
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos duas integrais diferentes:
  1. integral1^5 f(x) , dx = integral1^3 f(x) , dx + integral3^5 f(x) , dx = 4b + 3b = 7b
Se considerarmos a integral total de a :

Passo 6

Agora, vamos analisar a condição III:
integral-4^x g(t) , dt = f(x) + 3x
Para encontrar g(x) = f'(x) + 3 , vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 7

Mas também temos a condição IV:
g(x) = 4b + f'(x)
Comparando as duas expressões para f'(x) + 3 = 4b + f'(x) :
3 = 4b
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Agora, é só resolver para b = 34 :

Resposta

O valor de é .

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