Sejam as duas integrais abaixo:
b) integral x raiz16-x^2 d x
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar. Observamos que temos du = -2x , dx , que sugere que uma substituição trigonométrica poderia ser útil, mas uma substituição mais simples também funciona aqui.
Vamos deixar . Assim, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Queremos expressar a integral em termos de - 12 du = x , dx e integral x raiz16 - x^2 , dx = integral raizu ( -12 du ) = -12 integral raizu , du . Da expressão acima, podemos resolver para :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Agora, vamos integrar -12 integral u^1/2 , du = -12 cdot u^3/232 + C = -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C . Lembrando que , e a integral de é :

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo - 13 (16 - x^2)^3/2 + C :

Resposta

A integral é igual a .

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