Se para todo x>1, se f(x)=integral1^x d tt, determine f^prime(x)( Resposta: 1x)
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Calcule dd x integral1^x raiz1+t^3 d t (Resposta: raiz1+x^3 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui pede para calcular a derivada em relação a de uma integral definida: . Estamos trabalhando com cálculo integral e diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Ele afirma que se temos uma função contínua F'(x) = f(x) e definimos uma função , então a derivada de em relação a é simplesmente . Em outras palavras:
Isso acontece porque estamos basicamente “desfazendo” a integral ao derivar.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos que:
f(t) = raiz1 + t^3
E nossa função F(x) = integral1^x raiz1 + t^3 , dt é:
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Então, calculando a derivada:
dd x integral1^x raiz1 + t^3 , dt = raiz1 + x^3
Isso significa que a taxa de variação da área sob a curva de até em relação a é igual a .

Resposta

dd x integral1^x raiz1+t^3 , dt = raiz1 + x^3

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